全称量词、存在量词（时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．对给出的下列命题：①∀x∈R，－x2<0；②∃x∈Q，x2＝5；③∃x∈R，x2－x－1＝0；④若p：∀x∈N，x2≥1，则¬p：∃x∈N，x2<1.其中是真命题的是()A．①③B．②④C．②③D．③④[答案]D[解析]①中，当x＝0时，－x2＝0；②中，x2＝5，x＝±，±是无理数；③中，∃x＝，使得x2－x－1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题．3．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p为()A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n[答案]C[解析]¬p：∀n∈N，n2≤2n，故选C.4．下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A．对任意的a、b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，＝xD．对数函数在定义域上是单调函数[答案]D5．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0B．∃x0∈R，|x0|>0C．∀x∈R，|x|≤0D．∃x0∈R，|x0|≤0[答案]C[解析]由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.6．已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A．∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0B．∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．∃a、b∈R，如果ab<0，则a<01D．∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0[答案]B[解析]条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.二、填空题7．下列特称命题是真命题的序号是__________________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．[答案]①③④8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__________________．[答案]过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内[解析]原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋<0，命题q：∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝，则p∨q，p∧q，¬p，¬q中是真命题的有__________________．[答案]p∨q¬p[解析]∵x2－x＋＝(x－)2≥0，故p是假命题，而存在x0＝，使sinx0＋cosx0＝，故q是真命题，因此p∨q是真命题，¬p是真命题．10．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为__________________．[答案]1[解析]若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则m≥f(x)max，其中f(x)＝tanx，x∈[0，]．∵函数f(x)＝tanx，x∈[0，]的最大值为1，∴m≥1，即m的最小值为1.三、解答题11．判断下列命题的真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；(2)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|；(3)∃x0∈R，x＋1<0.[解析]命题(1)为全称命题，根据指数函数的性质可知，该命题为真命题．命题(2)是特称命题，存在T0＝π，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|，故该命题为真命题．命题(3)是特称命题，因为对任意的x∈R，都有x2＋1>0，故该命题为假命题．12．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．23
