（天津专版）高考数学 母题题源系列 专题18 数列的通项公式及前n项和 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

母题十八数列的通项公式及前n项和【母题原题1】【2018天津，理18】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列．已知，，，．（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明．【考点分析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识．考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力．满分13分．【答案】（I）；（II）（i）．（ii）证明见解析．【解析】试题分析：（I）由题意得到关于的方程，解方程可得，则．结合等差数列通设等差数列的公差为，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故．（ii）证明：，．【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【母题原题2】【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．联立①②，解得，，由此可得．所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．（Ⅱ）设数列的前项和为，由，，有，故，，上述两式相减，得：，得．所以，数列的前项和为．【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．【母题原题3】【2016天津，理18】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项．(Ⅰ)设，求证：是等差数列；(Ⅱ)设，求证：【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析，易得结论．试题解析：（I）证明：，为定值，∴为等差数列．（II）证明：（*）由已知，将代入（*）式得，∴，得证．【名师点睛】分组转化法求和的常见类型（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．（2）通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．【母题原题4】【2015天津，理18】已知数列满足，且成等差数列．(I)求的值和的通项公式；(II)设，求数列的前项和．【答案】(I)；(II)．当时，，所以的通项公式为(II)由(I)得，设数列的前项和为，则，，两式相减得，整理得，所以数列的前项和为．【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和．是中档题．【命题意图】高考对本部分内容的考查基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列求和问题．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有：其一求数列的通项公式，其二数列求和，其三证明数列成等差数列或成等比数列．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列的通项公式：本题从等比数列入手，由于，设公比为，表达出和，利用列方程求出，写出的通项公式；第二步：求数列的通项公式：借助第一步的结果，由于数列成等差数列，设公差为，结合，解方程组求出和，写出数列的通项公式．第三步：利用错位相减法求和：列出数列的前n项和，两边同乘以4，两式相减后求和．【方法总结】1．数列中与的关系：an＝2．等差数列（1）等差数列的有关概念①定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为为常数．②等差中项：数列成等差数列的充要条件是，其中叫做的等差中项．（2）等差数列的有关公式①通项公式：．②前项和公式：．（3）等差数列的性质已知数列是等差数列，是其前项和．①通项公式的推广：．②若，则．③若的公差为，则也是等差数列，公差为．④若是等差数列，则也是等差数列．⑤数列，…构成等差数列．（4）．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为；若偶数个数成等差数列，可...