第6课函数的奇偶性与周期性[最新考纲]内容要求ABC函数的奇偶性√函数的周期性√1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫作奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝，则a＋b＝.]3．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________.x(1－x)[当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x)．]4．下列函数中，①y＝；②y＝|sinx|；③y＝cosx；④y＝ex－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)1④[①中函数的定义域为[0，＋∞)，其不关于原点对称，故①不是奇函数，②③是偶函数，④是奇函数．]5．(2016·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．－[因为函数f(x)的周期为2，结合在[－1,1)上f(x)的解析式，得f＝f＝f＝－＋a，f＝f＝f＝＝.由f＝f，得－＋a＝，解得a＝.所以f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋＝－.]函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－2x；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝[解](1)定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)．∴该函数为奇函数．(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]． 函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[规律方法]1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1](1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是________．(填序号)①f(x)g(x)是偶函数；②|f(x)|g(x)是奇函数；2③f(x)|g(x)|是奇函数；④|f(x)g(x)|是奇函数．(2)判断函数f(x)＝＋的奇偶性．(1)③[①：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，①错．②：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，②错．③：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，③正确．④：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，④错．](2)由得x2＝3，∴x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.函数奇偶性的应用(1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.【导学号：62172030】(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.(1)1(2)[(1) f(x)为偶函...
