第九章平面解析几何第50课抛物线课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)1．(2016·四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点坐标是________．(1,0)[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为________．3[由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3.]3．(2017·南京模拟)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________.【导学号：62172276】[由双曲线x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，又y2＝4x的焦点F(1,0)，∴焦点F到直线的距离d＝＝.]4．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．y2＝±4x[因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，p＝2.所以抛物线方程为y2＝±4x.]5．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长AB为__________．8[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1.联立消去y得x2－6x＋1＝0.所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]6．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为__________．－[ 点A(－2,3)在抛物线C的准线上．∴－＝－2，∴p＝4，焦点F(2,0)．∴kAF＝＝－.]7．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．x＝－2[由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝，所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2.因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y2＝2px的焦点为.依题意，得＝2，于是抛物线的准线x＝－2.]8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为__________.【导学号：62172277】[如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．1连结AF交抛物线于点P，此时最小值为AF＝＝.]9．如图502，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝__________.图502＋1[由题意可得C，F，则＝＋1(舍去－1)．]10．(2017·徐州模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.2[y2＝2px的准线为x＝－.由于△ABF为等边三角形．因此不妨设A，B.又点A，B在双曲线y2－x2＝1，从而－＝1，所以p＝2.]11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于________．－4[①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，所以x1x2＝；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4.②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.y1y2＝－p2，∴＝－4.]12．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为________.【导学号：62172278】y2＝4x或y2＝16x[由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)．则AF＝，AM＝.由已知得，AF·AM＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由MF＝5，得＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8.2故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则AB＝________.12[ F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，∴AB的方程为y－0＝tan30°，即y＝x－.联立得x2－x＋＝0，∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.由于AB＝xA＋xB＋p，∴AB＝＋＝12.]2．(2016·全国卷Ⅰ改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知AB＝4，DE＝2，则C的焦点到准线的距离为________．4[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2. AB＝4，DE＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D. 点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴...
