§1.1.3导数的几何意义[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)＜f′(xB)，选B.答案B2．曲线y＝x2－2在点处的切线的倾斜角为A．1B.C.D．－解析f′(1)＝＝＝(1＋Δx)＝1，即切线的斜率为1，故切线的倾斜角为.答案B3．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a等于A．1B．2C．3D．4解析设切点坐标为(x0，1)，则f′(x0)＝＝(4x0＋2Δx－4)＝4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点坐标为(1，1)．1∴2－4＋a＝1，即a＝3.答案C4．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为A．(0，－2)B．(1，0)C．(0，0)D．(1，1)解析设点M(x0，y0)，∴k＝＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.答案B5．曲线y＝x2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A.B.C．1D．2解析f′(1)＝＝＝(2＋Δx)＝2.则曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.则三角形的面积为S＝×1×＝.答案A6．已知点P在曲线F：y＝x3－x上，且曲线F在点P处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为A．(1，1)B．(－1，0)C．(－1，0)或(1，0)D．(1，0)或(1，1)解析设点P(x0，y0)，则f′(x0)＝＝＝3x－1＝2⇒x0＝±1.答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7．如果函数f(x)在x＝x0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)在x＝x0附近的变化2情况是________(填“逐渐上升”或“逐渐下降”)．解析由题意知f′(x0)<0，根据导数的几何意义知，f(x)在x＝x0附近的变化情况是“逐渐下降”．答案逐渐下降8．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________．解析＝(aΔx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即＝.答案9．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的坐标为________．解析设切点的坐标为(x0，y0)，因为＝＝x0＋Δx，当Δx→0时，→x0，而切线的斜率为，所以x0＝，所以x0＝1，y0＝.故切点坐标为.答案三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知曲线C：y＝x3.求：(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？解析(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点为P(1，1)．∵y′＝＝＝＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，∴y′|＝3.∴点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.3(2)由可得(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为P(1，1)或P(－2，－8)．故第(1)小题中的切线与曲线C还有其他的公共点．11．(12分)已知一物体的运动方程是s＝求此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．解析当t＝1时，＝＝6＋3Δt，所以s′(1)＝＝(6＋3Δt)＝6.故当t＝1时的瞬时速度为6.当t＝4时，＝＝6＋3Δt，所以s′(4)＝＝(6＋3Δt)＝6，故当t＝4时的瞬时速度为6.12．(13分)已知曲线f(x)＝x2的一条在点P(x0，y0)处的切线，求：(1)切线平行于直线y＝－x＋2时切点P的坐标及切线方程；(2)切线垂直于直线x－4y＋5＝0时切点P的坐标及切线方程；(3)切线的倾斜角为60°时切点P的坐标及切线方程．解析f′(x0)＝＝2x0.(1)因为切线与直线y＝－x＋2平行，所以2x0＝－1，x0＝－，即P，所以切线方程为y－＝－，即4x＋4y＋1＝0.(2)因为切线与直线x－4y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，x0＝－4，即P(－4，16)．所以切线方程为y－16＝－8(x＋4)，即8x＋y＋16＝0.(3)因为切线的倾斜角为60°，所以切线的斜率为，即2x0＝，x0＝，所以P，所以切线方程为y－＝，4即4x－4y－3＝0.5
