高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2.2.1椭圆及其标准方程课时跟踪检测一、选择题1．对于m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若方程mx2＋ny2＝1表示椭圆，则m>0，n>0，且m≠n，可推得mn>0.反之不成立，所以“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．答案：B2．方程＋＝2表示()A．椭圆B．圆C．直线D．线段解析：设P(x，y)，A(－1,0)，B(1,0)，则方程表示|PA|＋|PB|＝2，而|AB|＝2.∴|PA|＋|PB|＝|AB|，∴方程表示线段AB.答案：D3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，则k的值为()A．1B．－C.D．25解析：将椭圆5x2＋ky2＝5化为标准方程x2＋＝1，由题意，得∴k＝1.答案：A4．已知△ABC的周长为18，|AB|＝8，A(－4,0)，B(4,0)，|CA|<|CB|，则点C的轨迹方程为()A.＋＝1(y≠0)B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0，x<0)D.＋＝1(y≠0，x<0)解析：∵|CA|＋|AB|＋|CB|＝18，|AB|＝8，∴|CA|＋|CB|＝10>|AB|，∴点C的轨迹是椭圆，且2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，∴椭圆方程为＋＝1.又∵|CA|<|CB|，∴x<0，y≠0.答案：C5．设A，B两点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，条件甲：点C满足AC·BC＞0；条件乙：点C的坐标是方程＋＝1(y≠0)的解．则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件解析：∵设C(x，y)，且＋＝1，∴AC·BC＝(x＋1，y)·(x－1，y)＝(x＋1)(x－1)＋y2＝x2＋y2－1＝x2＋3－1＝x2＋2＞0.∴甲是乙的必要不充分条件．答案：B6．已知椭圆＋y2＝1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任意一点．则|PF1|·|PF2|的最大值为()1A．16B．4C．8D．2解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a＝4，|PF1|·|PF2|＝mn≤2＝4(当且仅当m＝n＝2时，等号成立)．答案：B二、填空题7．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________．解析：|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.答案：68．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2c＝2，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝－，又∠F1PF2∈(0，π)，∴∠F1PF2＝π.答案：2π9．若椭圆＋＝1上一点P与其两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.解析：由题意，得|PF1|＋|PF2|＝14，|F1F2|＝10.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2.∴|PF1|·|PF2|＝48.答案：48三、解答题10．(1)已知椭圆的焦点为F1(－1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，求该椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，且焦距为6，求实数m的值．解：(1)∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2.又|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.又此椭圆焦点在x轴上，∴所求的椭圆的标准方程为＋＝1.(2)∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，则a2＝25，b2＝m2，则a2－b2＝25－m2＝c2＝9.∴m2＝25－9＝16，又m＞0，∴m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝m2，b2＝25，c2＝a2－b2＝m2－25＝9，∴m2＝34.又m＞0，∴m＝.综上，实数m的值为4或.11．已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解：在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，由椭圆定义，得10＝|PF1|＋|PF2|，|F1F2|＝5，2代入上式得|PF1|·|PF2|＝25，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°＝.12．已知点A，B的坐标分别是A(0，－1)，B(0,1)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－t，t∈(0,1]．求M的轨迹方程，并说明曲线的类型．解：设M(x，y)，则kBM＝(x≠0)，kAM＝(x≠0)，由题意，得kBMkAM＝－t，即·＝－t(x≠0)，整理得y2＋＝1(x≠0)．①当t∈(0,1)时，M的轨迹为椭圆(除去A和B两点)；②当t＝1时，M的轨迹为圆(除去A和B两点)．13．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为()A.＋y2＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：设|F2B|＝x，则|AF2|＝2x，|BF1|＝3x，∴|BF1|＋|BF2|＝4x＝2a，∴x＝，|AF2|＝a，则由椭圆定义|AF1|＝a，在△AF1F2和△AF1B中，根据余弦定理，cosA＝＝，解得a2＝3，c2＝1，b2＝2.则椭圆C的方程为＋＝1.答案：B3