课时作业59坐标系1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．解析：由得到①将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.2．(2018·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离．解析：(1)如图，由正弦定理得＝.即ρsin＝sin＝，∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝.(2)作OH⊥l，垂足为H，在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，则OH＝OAsin＝，即极点到该直线的距离等于.3．(2018·沈阳市教学质量检测(一))在直角坐标系xOy中，直线l：y＝x，圆C：(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l与圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．解析：(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0，得ρ2＋3ρ＋4＝0，解得ρ1＝－2，ρ2＝－，|MN|＝|ρ1－ρ2|＝，∵圆C的半径为1，∴△CMN的面积为××1×sin＝.4．(2018·成都模拟)在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋cosθ)＝5，射线OM：θ＝与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，θ∈.(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有解得设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，则有解得由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ的长为4.5．(2018·广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．解析：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，在Rt△OAM中，∠OMA＝，∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4.因为cos∠AOM＝，所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，即ρ＝4cos＝4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos为所求．(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝，易得∠AOP＝，所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2.法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos.(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，得ρ＝2，所以圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长为2.[能力挑战]6．(2018·成都市第二次诊断性检测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.(1)求θ的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．解析：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，即ρ＝4sinθ.由ρ＝2，得sinθ＝，∵θ∈，∴θ＝.(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋3－4＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－4＝0.又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，联立，得，解得ρ＝4.∴点B的极坐标为(4，)，∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.
