（江苏专用）高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第28课 函数建模问题(二)——三角函数、解三角形课时分层训练-人教版高三全册数学试题VIP免费

第五章三角函数、解三角形第28课函数建模问题(二)——三角函数、解三角形课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)1．(2017·淮海中学模拟)如图2811，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上．图2811(1)设∠BOC＝θ，征地面积记为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2)当θ为何值时，征地面积最大？【导学号：62172154】[解](1)连结OE，OC，可得OE＝R，OB＝Rcosθ，BC＝Rsinθ；θ∈.∴f(θ)＝2S梯形OBCE＝R2(sinθcosθ＋cosθ)θ∈.(2)f′(θ)＝－R2(2sinθ－1)(sinθ＋1)．令f′(θ)＝0，∴sinθ＋1＝0(舍)或者sinθ＝.∵θ∈，当θ∈时，f′(θ)>0；当θ∈时，f′(θ)<0，∴当θ＝时，f(θ)取得最大值．答：θ＝时，征地面积最大．2.(2017·镇江期中)广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，记该设施平面图的面积为S(x)m2，∠AOB＝xrad，其中＜x＜π.图2812(1)写出S(x)关于x的函数关系式；(2)如何设计∠AOB，使得S(x)有最大值？[解](1)由已知可得∠CBO＝x－，S扇形AOB＝lr＝2x，在△BCO中，由正弦定理可得：＝，所以CO＝2(sinx－cosx)，从而S△CBO＝BO·CO·sin∠BOC＝2sin2x－2sinxcosx，所以S(x)＝2sin2x－2sinxcosx＋2x＝2sinx(sinx－cosx)＋2x.(2)S′(x)＝2(sin2x－cos2x)＋2＝2sin＋2，由S′(x)＝0，解得x＝，令S′(x)＞0，解得＜x＜，所以增区间是；令S′(x)＜0，解得＜x＜π，所以减区间是；1所以S(x)在x＝处取得最大值是2＋m2.答：设计成∠AOB＝时，该设施的平面图面积最大是2＋m2.B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·无锡期中)如图2813，某自行车手从O点出发，沿折线O－A－B－O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20千米．该车手于上午8点整到达点A,8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东(45°－α)(其中sinα＝，0°＜α＜90°)且与点O相距5千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)．图2813(1)求该自行车手的骑行速度；(2)若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由.【导学号：62172155】[解](1)由题意知，OA＝20，OC＝5，∠AOC＝α，sinα＝.由于0°＜α＜90°，所以cosα＝＝.由余弦定理，得AC＝＝5.所以该自行车手的行驶速度为＝15(千米/小时)．(2)如图，设直线OE与AB相交于点M.在△AOC中，由余弦定理，得：cos∠OAC＝＝＝，从而sin∠OAC＝＝＝.在△AOM中，由正弦定理，得：OM＝＝＝20.由于OE＝27.5＞20＝OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME＝OE－OM＝7.5.过点E作EH⊥AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离.在Rt△EHM中，EH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin(45°－∠OAC)＝7.5×＝＜3.5.所以该自行车手会进入降雨区．2．(2017·启东中学高三第一次月考)如图2814，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC＝.管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P(异于M，N两点)，过点P修建与BC平行的小路PQ.问：点P选择2在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．图2814[解]连结BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1.设∠PBP1＝θ，＝－θ若0<θ<，在Rt△PBP1中，PP1＝sinθ，BP1＝cosθ，若θ＝，则PP1＝sinθ，BP1＝cosθ，若<θ<，则PP1＝sinθ，BP1＝cos(π－θ)＝－cosθ，∴PQ＝2－cosθ－sinθ.在Rt△QBQ1中，QQ1＝PP1＝sinθ，CQ1＝sinθ，CQ＝sinθ，DQ＝2－sinθ.所以总路径长f(θ)＝－θ＋4－cosθ－sinθ，f′(θ)＝sinθ－cosθ－1＝2sin－1令f′(θ)＝0，得θ＝.当0<θ<时，f′(θ)<0，当<θ<时，f′(θ)>0.所以当θ＝时，总路径最短．答：当BP⊥BC时，总路径最短．3