高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式练习（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

2.基本不等式基础巩固1函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.3√2−3B.−3C.6√2D.6√2−3解析：y=3x2+6x2+1=3x2+3+6x2+1−3. 3x2+3>0,6x2+1>0,∴y≥2√(3x2+3)·6x2+1−3=6√2−3,当且仅当3x2+3¿6x2+1时,y取得最小值6√2−3.答案：D2已知a>0,b>0,则1a+1b+2√ab的最小值是()A.2B.2√2C.4D.5解析：1a+1b+2√ab≥2√1ab+2√ab≥4,当且仅当a=b,√ab=1时,等号成立,即a=b=1时,1a+1b+2√ab取最小值4.答案：C3若x,y∈R,且满足x+3y=2,则3x+27y+1的最小值是()A.33√9B.1+2√2C.6D.7解析：3x+27y+1=3x+33y+1≥2√3x·33y+1=2√3x+3y+1=2×3+1=7,当且仅当x=3y时,等号成立.故所求最小值为7.答案：D4设a,b是正实数,以下不等式恒成立的序号为()①√ab>2aba+b;②a>¿a−b∨−b;1③a2+b2>4ab-3b2;④ab+2ab>2.A.①③B.①④C.②③D.②④解析：对于①,√ab−2aba+b=√ab(a+b)-2aba+b=√ab(a+b-2√ab)a+b=√ab(√a-√b)2a+b≥0,①不合题意,则应排除A,B;④正确,故选D.答案：D5设a>0,b>0,若√3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为()A.8B.4C.1D.14解析： √3是3a与3b的等比中项,∴(√3)2=3a·3b,即3=3a+b.∴a+b=1.此时1a+1b=a+ba+a+bb=2+(ba+ab)≥2+2=4,当且仅当a=b¿12时,等号成立.故1a+1b的最小值为4.答案：B6已知02√ab,a2+b2>2ab. a2a2+b2.∴四个数中最大的是a+b.答案：a+b7已知正数x,y满足x+2y=1,则x+8yxy的最小值为.解析：由于正数x,y满足x+2y=1,则x+8yxy=(1y+8x)(x+2y)=10+xy+16yx≥10+2√xy·16yx=18,2当且仅当{x+2y=1,xy=16yx,即{x=23,y=16时,等号成立.所以x+8yxy的最小值为18.答案：188已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.分析：(1)注意“1”的代换.(2¿a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc).这一步为使用基本不等式创造了条件.证明：1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c¿13时,等号成立.9若a>0,b>0,且1a+1b=√ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由√ab=1a+1b≥2√ab,得ab≥2,当且仅当a=b¿√2时等号成立.故a3+b3≥2√a3b3≥4√2,当且仅当a=b¿√2时,等号成立.所以a3+b3的最小值为4√2.(2)由(1)知2a+3b≥2√6×√ab≥4√3,由于4√3>6,因此不存在a,b,使得2a+3b=6.10某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元,……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?解:设这种汽车使用n年后报废最合算,这n年中汽车每年的平均费用为y万元,3则y¿10+0.9n+0.2n+n(n-1)2·0.2n¿10n+n10+1≥3,当且仅当10n=n10,即n=10时,等号成立.故这种汽车使用10年后报废最合算.能力提升1已知不等式(x+y¿(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8解析：(x+y¿(1x+ay)=1+a+axy+yx≥1+a+2√a=(√a+1)2,当且仅当yx=√a时,等号成立. (x+y¿(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴需(√a+1)2≥9.∴a≥4.故选B.答案：B2某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5km处B.4km处C.3km处D.2km处解析：设仓库到车站的距离为xkm,由已知得y1¿20x,y2=0.8x.费用之和y=y1+y2=0.8x+20x≥2√0.8x·20x=8,当且仅当0.8x¿20x,即x=5时,等号成立.故选A.答案：A3若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,则2a+b+c的最小值为()A.√3−1B.√3+1C.2√3+2D.2√3−2解析：因为a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,4所以4-2√3=a2+ab+ac+bc¿14(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2),当且仅当b=c时,等号成立.所以(2√3−2¿2≤(2a+b+c)2,则2a+b+c≥2√3−2.故选D.答案：D4函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m+2n的最小值为.解析：函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1). ...