高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.2 基本不等式高效演练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

1.1.2基本不等式A级基础巩固一、选择题1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A．a＋b≥2B.＋≥2C.≥2D．a2＋b2＞2ab解析：当a，b都是负数时，A不成立；当a，b一正一负时，B不成立；当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是()A.＋B.C．tanθ＋D．2x＋2－x解析：因为2x＞0，2－x＞0，所以2x＋2－x≥2＝2.当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．答案：D3．已知＋＝1(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是()A．15B．6C．60D．1解析：因为＋≥2(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，所以2≤1，所以xy≥60，故xy的最小值为60.答案：C4．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.又a，b均大于0，所以a＋b＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．所以a＋b的最小值为4.答案：C5．函数y＝(x≠0)的最大值及此时x的值为()A.，B.，±C.，－D.，±3解析：y＝＝(x≠0)，因为x2＋≥2＝6，所以y≤，当且仅当x2＝，即x＝±时，ymax＝.1答案：B二、填空题6．设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．解析：y＝3－≤3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．所以ymax＝3－2.答案：3－27．已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是________．解析：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2＋1＝7，当且仅当x＝3y，即x＝1，y＝时，等号成立．答案：78．已知lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为________．解析：因为lgx＋lgy＝2，所以x＞0，y＞0，lg(xy)＝2，所以xy＝102，所以＋≥2＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．答案：三、解答题9．已知x＜0，求2x＋的最大值．解：由x＜0，得－x＞0，得－2x＋≥2＝2，所以2x＋≤－2，当且仅当－2x＝，即x＝－时等号成立．故2x＋取得最大值－2.10．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以≥＞0，≥＞0，≥＞0.且上述三个不等式中等号不能同时成立．所以··＞abc.所以lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.B级能力提升1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处解析：由已知：y1＝，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．答案：A2．(2017·天津卷)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．解析：因为a，b∈R，ab＞0，所以≥＝4ab＋≥2＝4，2当且仅当即时取得等号．故的最小值为4.答案：43．若对任意x＞0，≤a恒成立，求实数a的取值范围．解：由x＞0，知原不等式等价于0＜≤＝x＋＋3恒成立．又x＞0时，x＋≥2＝2，所以x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．因此＝5，从而0＜≤5，解得a≥.故实数a的取值范围为.3