高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 直接证明知识导航 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP免费

2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明知识梳理证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为____________，其一般形式为本题结论.其中从已知条件出发，以已知的定义、定理、公理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为_____________，推证过程为已知条件…………结论.而从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法常称为____________，推证过程为………….知识导学综合法与分析法都是直接证明.综合法是从已知条件出发，经过推理，导出所要结论，步骤比较简洁明了，但入手点比较难找,而分析法则是从要证的结论出发，寻求它的论据,直至归结到题设条件(结论成立的充分条件),运用综合法证明需先对题目进行分析，找到证明的出发点，两者相辅相成，辩证统一.疑难突破综合法与分析法的比较剖析:一般地,对于命题“若A则D”，用综合法证明时，思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演到达D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等.由B，B1，B2推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C，C1，C2，C3，C4等，最终能有一个(或多个)可推演出结论D即可.用分析法思考数学问题的顺序可理解为(对于命题“若A则D”)分析法的思考顺序是执果索因的顺序.是从D上溯寻其论据，如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3，B4等等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的论据，如果其中之一B的论据恰好为已知条件，于是命题得证.用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有区别，在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的，而在分析法中，就应当用假设的语气，习惯上常用这样一类语句：假如要A成立，就必须先有B成立；如果要有B成立，又只需有C成立……这样从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时，所有各个中间的辅助命题，仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的，而并不是1确信它们都是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后，我们才确信它是真实的，从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的，于是命题就被证明了.典题精讲【例1】设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(其中m为常数，n∈N*),且m≠-3.(1)求证：{an}为等比数列；(2)若数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求证：{}为等差数列.思路分析：本题要证数列为等差、等比数列，所以需按定义研究an+1与an的关系，而已知为Sn，需将Sn化为an，它们之间的关系为an=证明：(1)由(3-m)Sn+2man=m+3得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,∴(3+m)an+1=2man(m≠-3).∴.∴{an}为等比数列.(2)由已知q=f(m)=,b1=a1=1,∴当n≥2时,bn=f(bn-1)=.∴bnbn-1+3bn=3bn-1.∴.∴{}是首项为1，公差为的等差数列.绿色通道：证明数列为等差、等比数列需紧扣定义，找到an+1与an之间的关系，由已知前n项和Sn，求出an=由已知条件逐步变形得到，从而得证.变式训练：已知f(x)=,Pn(an,)在曲线y=f(x)上(n∈N*)且a1=1,an＞0.(1)求{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且满足+16n2-8n-3.设定b1的值，使得数列{bn}是等差数列.解：(1)由已知Pn在曲线y=f(x)上.∴.∴.∴{}是等差数列.2=1+4(n-1)=4n-3, an＞0,∴an=.(2) +(4n-3)(4n+1),即(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),∴.∴{}为等差数列，首项为=b1+(n-1)=n+(b1-1).∴Tn=(4n-3)［n+(b1-1)］=4n2+(4b1-7)n-3(b1-1).要使{bn}为等差数列，需使b1-1=0,∴b1=1.当b1=1时,Tn=4n2-3n,bn=9n-8,∴{bn}为等差数列.【例2】如图2-2-1所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.图2-2-1思路分析：本题所要证的是线线垂直，可通过线面垂直来判定，而已知条件为线线垂直、线面垂直，通常我们需要将线面垂直转化为线线垂直，再由线线垂直转化为线面垂直，从而得证.证明： SA⊥面ABC,∴SA⊥BC. AB⊥BC,∴BC⊥面SAB. AE面SAB,∴BC⊥AE. AE⊥SB,∴AE⊥面SBC.∴AE⊥SC.又 EF⊥SC,∴SC⊥面AEF.∴SC⊥AF.绿色通道：从...