高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 3 三个正数的算术 几何平均不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

3三个正数的算术几何平均不等式,[学生用书P12])[A基础达标]1．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是()A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，所以ymin＝6B．y＝2＋x＋≥3＝3，所以ymin＝3C．y＝2＋x＋≥4，所以ymin＝4D．y＝x(1－x)(1－2x)≤＝，所以ymax＝解析：选C.A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)和abc≤(a，b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，因为x＞0，所以y＝2＋x＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12解析：选C.因为x＋2y＋3z＝6，所以2x＋4y＋8z≥3＝3＝3＝12.当且仅当x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．3．函数y＝x2＋1＋(x＞0)的最小值是()A．3B．3C．3D．4解析：选D.由题意，y＝x2＋＋＋1，因为x＞0，所以y＝x2＋＋＋1≥3＋1＝4，当且仅当x2＝，即x＝1时，函数取得最小值4.故选D.4．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)解析：选B.因为x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝6，所以lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg＝lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，有最大值为3lg2.5．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥πD．V≤π解析：选B.设圆柱半径为r，则圆柱的高为h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π＝π.当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．6．将实数1分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是________．解析：设这三个正数分别是a，b，c，则a＋b＋c＝1，所以abc≤＝，当且仅当a＝b＝c＝时，abc取得最大值.答案：17．若a>b>0，则a＋的最小值为________．解析：因为a>b>0，所以a－b>0.所以a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当，即⇒时等号成立，所以当a＝2，b＝1时原式有最小值3.答案：38．若实数x，y满足x，y>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是________．解析：由x2y＝2，得y＝，代入xy＋x2，得xy＋x2＝x·＋x2＝＋x2＝＋＋x2≥3，当且仅当＝x2，即x＝1，y＝2时取等号．答案：39．已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．解：因为y＝x(1－x2)，所以y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)×.因为2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，所以y2≤＝.当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝时，等号成立，所以|y|≤，即y的最大值为.10．设a，b，c为正实数，求证：a3＋b3＋c3＋≥2.证明：因为a，b，c为正实数，所以a3＋b3＋c3≥3＝3abc＞0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．又3abc＋≥2，当且仅当3abc＝时，等号成立．所以a3＋b3＋c3＋≥2.[B能力提升]1．已知正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，＋＋＝10，则abc的取值范围是________．解析：由a＋b＋c＝1可得1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ac)，故有0＜ab＋bc＋ac≤.因为＋＋＝＝10，所以abc＝(ab＋bc＋ac)，所以0＜abc≤.答案：2．设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．解析：因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9.于是[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥3·3＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，即＋＋≥1，故＋＋的最小值为1.答案：123．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，求x2y3z的最大值．解：因为6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，所以x2x3z≤1.所以x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.4．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6，f(x)＝2＋5(2x－6)(x－6)2≤2＋5＝42.当且仅当2x－6＝6－x即x＝4时等号成立．当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．3