3函数的奇偶性与周期性教师专用真题精编1
(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x)
若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A
50答案C本题主要考查函数的奇偶性和周期性
∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,∴f(0)=0,f(-x)=-f(x),①又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),②由①②得f(2+x)=-f(x),③用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x)
④由③④得f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期为4
由于f(1-x)=f(1+x),f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0,令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2
(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cosπx2,0
