2.4二次函数与幂函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称2.幂函数(1)定义：一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减.【知识拓展】1.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.2.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.1(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.(×)(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(√)(4)函数y＝是幂函数.(×)(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(√)(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.(×)1.(教材改编)若幂函数f(x)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝________.答案27解析设f(x)＝xα，则2α＝2，∴α＝，∴f(x)＝.∴f(9)＝＝27.2.(教材改编)设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值和为__________.答案4解析当α＝1,3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数；当α＝－1时，y＝的定义域是{x|x≠0，x∈R}；当α＝时，y＝＝的定义域是{x|x≥0}.∴满足题意的a值为1和3，其和为4.3.(教材改编)函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝______.答案－3解析f(x)＝2(x－)2＋3－，由题意＝2，∴m＝8，∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________.答案[1,2]解析如图，由图象可知m的取值范围是[1,2].5.(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减.答案y＝(0，＋∞)2解析设f(x)＝xa，则2a＝，∴a＝－，即幂函数的解析式为y＝，单调减区间为(0，＋∞).题型一求二次函数的解析式例1(1)(2016·南京模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.答案x2＋2x解析设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式.解 f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又 f(x)的图象被x轴截得的线段长为2.∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1，∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.思维升华求二次函数解析式的方法(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.答案(1)x2＋2x＋1(2)－2x2＋4解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴－a＝－(－)，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.3题型二二次函数的图象和性质命题点...
