（浙江专用）新高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 8 第8讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系高效演练分层突破-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第8讲直线与椭圆、抛物线的位置关系[基础题组练]1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．2．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a>b>0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()①y＝2x－3;②y＝2x＋1；③y＝－2x－3;④y＝－2x＋3.A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C.直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.3．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k(x－)，代入抛物线y2＝2x得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，因为A，B两点的横坐标之和为2.所以k＝±.所以这样的直线有两条．4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA·OB等于()A．－3B．－C．－或－3D．±解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，所以OA·OB＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA·OB＝－.5．(2020·杭州严州中学模拟)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，BC＝λFB，则λ的值为()A.B.C.D．3解析：选D.设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝4，直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，y＝－8，即C(－2，－8)，联立方程解得B(1，－2)，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.6．已知圆M：(x－1)2＋y2＝，椭圆C：＋y2＝1，若直线l与椭圆交于A，B两点，与圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l有()1A．2条B．3条C．4条D．6条解析：选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时，P在x轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由＋y＝1，＋y＝1，两式相减，整理得＝－·，则kAB＝－，kMP＝，kMP·kAB＝－1，kMP·kAB＝－·＝－1，解得x0＝，由<，可得P在椭圆内部，则这样的P点有2个，即直线AB斜率存在时，也有2条．综上可得，所示直线l有4条．故选C.7．(2020·温州市普通高中模考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线分别交抛物线于A，B两点，交直线l：x＝－1于点P，若PA＝λAF，PB＝μBF(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．解析：直线x＝－1是抛物线的准线，如图，设A，B在直线l上的射影分别是M，N，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，＝，＝，因为AM∥BN，所以＝，|λ|＝|μ|，又λ＜0，μ＞0，所以λ＋μ＝0.答案：08．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.则|AB|＝＝＝＝.答案：9．(2020·温州市高三模拟)已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是________．解析：设直线l：x＝2y＋t，联立抛物线方程得y2＝2p(2y＋t)⇒y2－4py－2pt＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16p2＋8pt＞0⇒t＞－2p，所以y1＋y2＝4p，y1y2＝－2pt＞0⇒t＜0，即－2p＜t＜0，x1x2＝(2y1＋t)(2y2＋t)＝4y1y2＋2t(y1＋y2)＋t2＝4·(－2pt)＋2t·4p＋t2＝t2，所以k1＋k2＝＋＝＝＝＝－，因为－2p＜t＜0，所以－＞2，即k1＋k2的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)10．过点M(1，1)作斜率为－...