课时跟踪检测(三十五)等差数列及其前n项和一、题点全面练1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝()A.B.C．2D．－解析：选A由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，所以4d＝a10－a6＝1，解得d＝.2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{an}中，若Sn为{an}的前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是()A．55B．11C．50D．60解析：选A设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55，故选A.3．(2018·泉州期末)等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项和S9等于()A．99B．66C．144D．297解析：选A由等差数列的性质可得a1＋a7＝2a4，a3＋a9＝2a6，又 a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39，3a6＝27，解得a4＝13，a6＝9，∴a4＋a6＝22，∴数列{an}的前9项和S9＝＝＝＝99.4．(2019·广州五校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2019的值为()A．2020B．4032C．5041D．3019解析：选B由题意得解得∴an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，∴a2019＝2×2019－6＝4032.故选B.5．(2019·长春质检)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时n的值为()A．6B．7C．8D．9解析：选C由d＞0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－＜0，a9＝＞0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则＝______.解析：＝＝＝.答案：7．等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则S10＝________.解析：设公差为d， －＝2，∴d－d＝2，∴d＝2， a1＝－9，∴S10＝10×(－9)＋×2＝0.答案：08．(2018·广元统考)若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝________.解析：当n＝1时，＝2⇒a1＝4，又＋＋…＋＝n2＋n，①所以当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋(n－1)＝n2－n，②①－②得＝2n，即an＝4n2，所以＝＝4n，则构成以4为首项，4为公差的等差数列．所以a1＋＋…＋＝＝2n2＋2n.答案：2n2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{an}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，所以a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，又2Sn＝a＋n－4，所以两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，即(an－1)2＝a，因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，因此数列{an}为等差数列．(2)由(1)知a1＝3，数列{an}的公差d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.10．已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn;(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式，解得d＝2或d＝－5.因为d＞0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1＞1，故解得即所求m的值为5，k的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2018＋a2019＞0，a2018·a2019＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2018B．2019C．4036D．4037解析：选C因为a1＞0，a2018＋a2019＞0，a2018·a2019＜0，所以d＜0，a2018＞0，a2019＜0，所以S4036＝＝＞0，S4037＝＝4037·a2019＜0，所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4036.2．(2019·武汉模拟)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为()A．－10B．－12C．－9D．－13解析：选B设等差数列{an}的公差为d， a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得或当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an＜0，...
