高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.2 椭圆的标准方程及性质的应用课时分层作业（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

课时分层作业(八)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为()A．B．∪C．D．B[由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(－3,0)D．(1,3)B[由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B．]3．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()A．±B．±C．±D．±A[设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊PF2，则PF2⊥F1F2，由题意知F2(3,0)，由＋＝1得y2＝，解得y＝±，从而M的纵坐标为±.]4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A．B．C．D．A[联立方程组得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝.∴kOP＝＝＝.故选A．]5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA＝3FB，则|AF|＝()A．B．2C．D．3A[设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，1∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1,0)．由FA＝3FB，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1，解得n2＝1，∴|AF|＝＝＝.]二、填空题6．已知椭圆的方程为＋＝1(m>0)．如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为________．[焦点在x轴上，由题意知，M.又因为点M在y＝x上，所以＝，解得m＝2，所以e＝＝＝.]7．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为________．6[由＋＝1可得F(－1,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP·FP＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP·FP取得最大值6.]三、解答题9.如图所示，已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点．若AF2·F1F2＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．[解]因为AF2·F1F2＝0，所以AF2⊥F1F2.因为椭圆的离心率e＝＝，所以b2＝a2.设A(x，y)(x>0，y>0)，由AF2⊥F1F2，知x＝c，把点A(c，y)代入椭圆方程，得＋＝1，所以y＝.因为△AOF2的面积为2，所以S△AOF2＝c×y＝2，即c·＝2.因为＝，所以b2＝8.所以a2＝2b2＝16.故椭圆的方程为＋＝1.10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y＋1＝0与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求椭圆方程．2[解]设P(x1，y1)，Q(x2，y2)． e＝，∴e2＝＝＝1－＝，∴＝，∴a2＝2b2，∴设椭圆方程为＋＝1，把直线x＋y＋1＝0代入椭圆方程并整理得：3x2＋4x－2b2＋2＝0，则又 OP⊥OQ∴OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋1＝＝0，∴b2＝，a2＝.符合Δ>0，∴椭圆方程为＋＝1.1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1D[因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，故选D．]2．经过椭圆x2＋2y2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则OM·ON等于()A．－3B．±C．－D．－C[由题意可知焦点F(±1,0)，不妨设直线l过点(1,0)，故l：y＝x－1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得3x2－4x＝0，∴x1＝0，x2＝.此时y1＝－1，y2＝，∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝－，故选C．]3．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点...