高二数学 算术平均数与几何平均数 知识精讲 人教版VIP免费

高二数学算术平均数与几何平均数知识精讲人教版一.本周教学内容：§6.2算术平均数与几何平均数目标：初步理解算术平均数和几何平均数的概念，初步掌握重要不等式“如果a、bR，那么＋”和定理“如果、是正数，那么”，理解定理的几何意义，ab2abab22abab2并能运用它们进行简单的证明和求值。二.重点、难点：重点：重要不等式及定理。难点：重要不等式及定理的应用。［知识要点介绍］由于，即()ababab222020ababab222（当且仅当时取“”号）当，时，根据上述不等式，有ababab00222()()即abab2ababab2（当且仅当时，取“”号）故有下面两个重要结论：（）如果、，则（当且仅当时，取“”号）；1222abRababab（）如果、是正数，那么（当且仅当时取“”号）。22abababab——定理我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数。abababab2该定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。联系数列知识，如果把看作是正数、的等差中项，看作正数、的等比abababab2中项，那么该定理还可叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。下面我们结合图形来看看该定理的意义：DABaCbD’ab以a＋b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b。过点C作垂直于直径AB的弦DD’，连结AD、DB，易证RtACD~RtDCB，那么CD2＝用心爱心专心CA·CB即CDab这个圆的半径，显然，即rabrCDabab22其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号“＝”成立。故该定理的几何意义是“半径不小于半弦”上述两个重点结论中出现的和是两个基本又重要的不等式。abababab2222学习时，要注意以下几点：（）和成立的条件是不同的：12222abababab前者只要求a、b都是实数，而后者则要求a、b都是正数。（2）这两个不等式都是带有等号的不等式，因此对定理中“当且仅当a＝b时取‘＝’号”这句话的理由要搞清楚。（3）应用这两个不等式可以证明其他不等式。当然它们本身也是根据不等式的意义、性质证出的，因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质来证明。（）应用，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值。42abab如求函数的最小值。yxxx160()xx0160yxxxx162168当且仅当，即时，取得最小值，且xxxyy1648min在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，要注意：（1）函数式中，各项必须都是正数。例如，对于函数式，当时，绝不能错误地认为关系式成立xxxxx1012并由此得出的最小值是xx12事实上，当时，的最大值是xxx012这是因为，xxxxxxxxx001011212()()()可以看出，当时，的最大值是xxx112（2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值。【例题分析】例1.设、、，求证：abcRabcabbcac222用心爱心专心分析：利用重要不等式证明。abab222证明：ababbcbcacac222222222，，abcabc22222212222()12222222[()()()]abbcca12222()abbcacabbcacabcabbcac222说明：对于与“三项和”有关的不等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和”。例2.若，，，，试比较、、的大abPabQabRabPQR1122lglg(lglg)lg小。分析：利用定理及对数的性质进行解答。abab2解：abab10，lglg12(lglg)lglgababQP又，abababab22lg()lg即RababQlg(lglg)12从而PQR说明：解答本题前应弄清各种符号的意义及运算关系、运算性质。例3.已知实数、、、满足，，求的最小值。abcda+b=7c+d=5()()acbd22错误解法：()()acbd22aaccbbdd222222()()adbcacbd2222222222adbcacbd2()()abcd70当且仅当且时取等号adbc错误原因：两次用不等式a2＋b2≥2ab，等号要同时取到，若a＝...