第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．准线方程为y＝的抛物线的标准方程为()A．x2＝yB．x2＝－yC．y2＝－xD．y2＝x解析：由准线方程为y＝，知抛物线焦点在y轴负半轴上，且＝，则p＝.故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.答案：B2．已知抛物线y－2016x2＝0，则它的焦点坐标是()A．(504，0)B.C.D.解析：抛物线的标准方程为x2＝y，故其焦点为(0，)．答案：C3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.答案：A4．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆过定点()A．(4，0)B．(2，0)C．(0，2)D．(0，4)解析：由题意易知直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点．答案：B5．抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是焦点，|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()A．x1，x2，x3成等差数列B．x1，x3，x2成等差数列C．y1，y2，y3成等差数列D．y1，y3，y2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|CF|＝x3＋.因为|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，所以2＝＋，即2x2＝x1＋x3.故x1，x2，x3成等差数列．故选A.答案：A二、填空题6．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是_____1___．解析：由抛物线的定义知点A，B到准线的距离之和是5，则AB的中点到准线的距离为，故AB中点的横坐标为x＝－＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________．解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋＝5，所以p＝8，即抛物线的标准方程是x2＝16y.答案：x2＝16y8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2.答案：2三、解答题9．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解：(1)方法一因为点(3，－4)在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.方法二因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0)．把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.10．动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程．解：设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA.2设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1.因为圆P与圆A外切，所以|PA|＝R＋r＝R＋1.又因为圆P与直线l：x＝1相切，所以|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1.因为|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线．设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，可知p＝4，所以所求的轨迹方程为y2＝－8x.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－，则点M到准线的距离为3＋＝6，解得a＝，抛物线方程为y＝x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－，点M到准线的距离为＝6，解得a＝－，抛物线方程为y＝－x2.答案：D2．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的...
