高二数学圆锥曲线综合文人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：圆锥曲线综合二.重点、难点：1.圆锥曲线统一定义平面上到一个定点F的距离和它到一条定直线的距离之比是一个常数的点的轨迹是圆锥曲线。轨迹是椭圆轨迹是抛物线轨迹是双曲线2.直线：交圆锥曲线于A（），B（）（弦长公式）3.轨迹问题【典型例题】[例1]过椭圆内一点D（1，0）作弦AB，求弦AB的中点M的轨迹方程。提示：设A（），B（），AB的中点M（x，y），则且①②①－②得：∴又∴即所求的轨迹方程为[例2]设双曲线C1的方程为，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q，求Q点的轨迹方程。解：设P（），Q（） ∴由（1）×（2）得：（3） ∴代入（3）得，即经检验点不合，因此Q点的轨迹方程为：（除点外）[例3]已知x轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程。解：设动点M的坐标为（x，y），则Q的坐标为（）因为点Q为椭圆上的点，所以有，即，所以点M的轨迹方程是[例4]点A位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心G的轨迹方程。解：设的重心G的坐标为（x，y），则点A的坐标为，因为点A位于双曲线（）上，所以，的重心G的轨迹方程为[例5]抛物线的焦点为F，过点（）作直线交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程。解：设R（x，y） F（0，1）∴平行四边形FARB的中心为L：，代入抛物线方程得，设A（），B（）则，且，即∴ C为AB的中点∴，消去k得，由①得，故动点R的轨迹方程为（）[例6]过抛物线的顶点作互相垂直的二弦OA、OB。（1）求AB中点的轨迹方程；（2）证明：AB与x轴的交点为定点。解：（1）直线OA：，则OB：由得由得设AB的中点坐标为（x，y），则得此即为所求的轨迹方程（2）由（1）知，直线AB的方程为：令，得它与x轴的交点为（2，0），其坐标与k无关，故定为定点[例7]已知直线交椭圆于M、N两点，B（0，4）是椭圆的一个顶点，若的重心恰是椭圆的右焦点，求直线的方程。解：椭圆的右焦点为F（2，0）设M（x1，y1），N（x2，y2）则∴，又过MN的中点（3，）∴的方程为，即[例8]已知双曲线和定点P（2，）（1）过P点可以做几条直线与双曲线C只有一个公共点；（2）双曲线C的弦中，以P点为中点的弦P1P2是否存在？并说明理由。解：（1）设过定点P（）的直线的方程为：则当时，即，解得或，与双曲线C分别交于和，当时，由得，即得切线，切点为，另一切线为，切点为（2，0）∴过点P有4条直线与双曲线只有一个公共点（2）设P1（），P2（），代入双曲线方程相减得弦P1P2的斜率为1若弦P1P2存在，则必为，代入双曲线方程得方程的判别式说明中点弦P1P2不存在[例9]椭圆上有两点P、Q、O是原点，若OP、OQ斜率之积为。求证为定值。提示：设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为由得∴同理可求得∴[例10]已知不论取何实数，直线与双曲线总有公共点，试求实数k的取值范围。解：联立方程组消去y得当，即时，若，则；若，不合题意当，即时，依题意有对所有实数b恒成立∴∴，得[例11]已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程。解： ∴， 圆过点O、F∴圆心M在直线上设M（），则圆半径由，得，解得∴所求圆的方程为[例12]正方形的一条边AB在直线上，顶点C、D在抛物线上，求正方形的边长。解：设CD的方程为，由消去x得设C（）D（），则，∴又AB与CD的距离，由ABCD为正方形有解得或∴正方形的边长为或【模拟试题】1.若椭圆的一个焦点坐标是（0，4），则的值为（）A.B.C.D.2.椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，则为（）A.4B.2C.8D.3.如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.24.双曲线上的一点P到左焦点的距离为2，则P到右准线的距离为（）A.1B.2C.4D.85.椭圆的两焦点F1，F2，过F2引直线L交椭圆于A、B两点，则的周长为（）A.5B.15C.10D.206.已知M（），N（2，0），，则动点P的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支7.若圆上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A.B.C.D.8.已知F1，F2是椭圆的两焦点，过点F...
