课时分层作业(十四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,2)，则f′(1)的值为()A．1B．0C．－1D．2B[∵二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，选B．]2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．6D[∵y＝2x3，∴y′＝lim＝lim＝2lim＝2lim[(Δx)2＋3xΔx＋3x2]＝6x2.∴y′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]3．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为()A．y＝－2x＋4B．y＝－2x－4C．y＝2x－4D．y＝2x＋4C[＝＝，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以切线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.]4．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是()A．(0,0)B．(2,4)C．D．D[∵y＝x2，∴k＝y′＝lim＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x，∴2x＝tan＝1，∴x＝，则y＝.]5．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过点P处的切线方程为()A．2x－y－1＝0B．2x－y－2＝0C．x＋2y＋2＝0D．2x－y＋1＝0A[与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.由y＝x2知，y′＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x.设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.所以过P(1,1)且与直线y＝－x＋1垂直的直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.]二、填空题16．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．>[f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率．由图象可得f′(a)>f′(b)．]7．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．(3,30)[设点P(x0,2x＋4x0)，则f′(x0)＝lim＝lim＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．]8．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)＝__________.2[∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，∴1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.又f′(1)＝，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2.]三、解答题9．已知曲线y＝x3上一点P，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．[解](1)由y＝x3，得y′＝lim＝lim＝lim＝lim[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，y′|x＝2＝22＝4.所以点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程为y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.10．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．[解]y′＝lim＝lim＝lim(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，2故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)，解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.1．设f(x)存在导函数，且满足lim＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2B[lim＝lim＝f′(1)＝－1.]2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()A．B．[－1,0]C．[0,1]D．A[设P点的横坐标为m，先求出函数y＝x2＋2x＋3在此处的导数．＝＝＝2m＋2＋Δx，当Δx→0时，→2m＋2.∴f′(m)＝2m＋2.由于倾斜角的取值范围为，∴0≤2m＋2≤1⇒－1≤m≤－.]3.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．x－y－2＝0[根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.]4．已知曲线f(x)＝，g(x)＝，过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．x－2y＋1＝0[由得∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f(x)＝，得f′(1)＝lim＝lim＝，∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．3即x－2y＋1＝0.]5．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．[解]由＝＝2x＋Δx，得y′＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x.设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式得所求切线方程为：y－y0＝2x0(x－x0)．又因为切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2)．4
