课时训练3距离问题1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧河岸选定一点C,测出A,C的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为()A.50mB.50mC.25mD.m答案:B解析:∵∠ACB=45°,∠CAB=105°,∴∠ABC=30°,根据正弦定理可知,,即,解得:AB=50m,故选B.2.在某船上开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°方向航行45海里后,看见灯塔在正西方向,则此时船与灯塔相距()A.15海里B.15海里C.15海里D.30海里答案:C解析:如图,B为灯塔,船由A航行45海里到达C,则∠BAC=30°,∠ABC=120°.由正弦定理,得.所以BC==15(海里),故选C.3.一货轮航行到M处时,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向,与灯塔S相距20nmile,随后货轮按北偏西30°方向航行3h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.)nmile/hB.)nmile/hC.)nmile/hD.)nmile/h答案:B解析:如图,设货轮航行到了点A,可利用正弦定理解△AMS.设货轮速度为xnmile/h,则AM=3xnmile.在△AMS中,由正弦定理,得,即,解得:x=).4.测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,使AB=120m,从A,B望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,则河宽为m.答案:601解析:∵∠CAB=30°,∠CBA=75°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-30°-75°=75°,∴AC=AB=120m.∴河宽CD=AC=60m.5.一船向正北方向匀速行驶,看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上,另一座灯塔在南偏西75°方向上,则该船的速度是海里/时.答案:10解析:如图所示,船从点A出发沿正北方向匀速行驶到D,B和C是两座灯塔,则BC=10海里,∠BDA=60°,∠CDA=75°,则∠CDB=15°,所以C=15°,∠CBD=150°.所以BD=BC=10海里.所以AD=BDcos60°=5海里.所以船的速度是=10(海里/时).6.CD是京九铁路线上的一条穿山隧道,开凿前,在CD所在水平面上的山体外取点A,B,并测得四边形ABCD中,∠ABC=,∠BAD=,AB=BC=400米,AD=250米,则应开凿的隧道CD的长为.答案:350米解析:在△ABC中,AB=BC=400米,∠ABC=,∴AC=AB=400米,∠BAC=.∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=.∴在△CAD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=4002+2502-2·400·250·cos=122500,∴CD=350米.7.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8nmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°.求:(1)A处与D处的距离;(2)灯塔C与D处的距离.2解:(1)在△ABD中,∠ADB=60°,B=45°,由正弦定理得AD===24(nmile).(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°,解得:CD=8(nmile).即A处与D处的距离为24nmile,灯塔C与D处的距离为8nmile.8.如图,为测量河对岸A,B两点的距离,在河的这边测出CD的长为km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求A,B两点间的距离.解:在△BCD中,∠CBD=180°-30°-105°=45°,由正弦定理得,则BC=(km).在△ACD中,∠CAD=180°-60°-60°=60°,∴△ACD为正三角形.∴AC=CD=(km).在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos45°=-2×,∴AB=(km).∴河对岸A,B两点间距离为km.9.某观测站C在A城的南偏西20°的方向,由A城出发有一条公路,公路走向是南偏东40°,在公路上测得距离C31km的B处,有一人正沿公路向A城走去,走了20km后到达D处,此时C,D之间相距21km,问此人还要走多远才能到达A城?(导学号51830084)解:如图,∠CAB=60°,BD=20km,CB=31km,CD=21km.在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC==-,则sin∠BDC=.在△ACD中,∠ACD=∠BDC-∠CAD=∠BDC-60°.由正弦定理,可得AD=.∵sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°=,∴AD==15(km).∴此人还要走15km才能到达A城.3
