第1讲空间几何体1．(2019·南京、盐城高三模拟)设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．[解析]根据题意，设正方体的棱长为a，则有a3＝×(2)2×，解得a＝2．[答案]22．(2019·苏州期末)已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为________．[解析]设圆锥的底面半径为r，高为h，则2π＝2πr，故r＝1，故h＝＝，故圆锥的体积为π×12×＝．[答案]π3．(2019·苏锡常镇模拟)平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为________．[解析]设截面圆的半径为r，则πr2＝π，解得r＝1，故d＝＝．[答案]4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．[解析]设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr．解得r＝1，即直径为2．[答案]25．(2019·南京、盐城模拟)若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________．[解析]设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由侧面积是底面积的2倍得πrl＝2πr2，故l＝2r＝2，因此高为h＝，故圆锥的体积为V＝πr2h＝π×12×＝π．[答案]6．(2019·苏锡常镇调研)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，点E为棱CD上一点，则三棱锥EPAB的体积为________．[解析]因为VEPAB＝VPABE＝S△ABE·PA＝×AB·AD·PA＝××2×3×4＝4．[答案]47．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为__________________________________________________________________cm3．[解析]连结AC交BD于O，在长方体中，1因为AB＝AD＝3，所以BD＝3且AC⊥BD．又因为BB1⊥底面ABCD，所以BB1⊥AC．又DB∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，所以AO为四棱锥ABB1D1D的高且AO＝BD＝．因为S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3×2＝6，所以VABB1D1D＝S矩形BB1D1D·AO＝×6×＝6(cm3)．[答案]68．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为________．[解析]依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3×＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π．[答案]36π9．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(五))如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间为高是4的圆柱，上下两端均是半径为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为______．[解析]设实心球的半径为R，则由题意知该实心金属几何体的体积V＝π＋16π＝π＝πR3，得R＝，所以实心球的直径为2R＝2．[答案]210．(2019·江苏省高考名校联考(五))如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，且AA1＝2AB，若三棱锥PBCD的体积与正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧面积的数值之比为1∶24，则VABCDA1B1C1D1＝________．[解析]设AB＝a，则AA1＝2a，所以VPBCD＝×a2×2a＝a3，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧面积为S＝4×2a2＝8a2，所以＝＝，即a＝1，所以VABCDA1B1C1D1＝2a3＝2．[答案]2211．(2019·苏州市第一学期学业质量调研)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为______．[解析]如图，记挖去的正三棱锥为正三棱锥PABC，则该正三棱锥的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上．设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO⊥平面ABC，交AD于点O，则AO＝PO＝2，AD＝3，AB＝BC＝2，所以S△ABC＝×2×3＝3，所以挖去的正三棱锥的体积V＝S△ABC×PO＝×3×2＝2．[答案]212．(2019·南京模拟)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD＝2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥CABD的体积为________．[解析]因为BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC即为二面角BADC的平面角，即∠BDC＝．又因为BD＝DC＝2，所以三角形BDC面积为×2×2×＝．又因为AD⊥平面BDC，所以V＝AD×S...
