考点规范练21解三角形应用举例基础巩固组1.在相距2km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为()A.√6kmB.√2kmC.√3kmD.2km答案A解析如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,∴ACsin60°=2sin45°,∴AC=2√2×√32=√6(km).2.在地平面上有一旗杆OP(O在地面),为了测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,测得其长为20m,在A处测得点P的仰角为30°,在B处测得点P的仰角为45°,又测得∠AOB=30°,则旗杆的高h等于()A.10mB.20mC.10√3mD.20√3m答案B解析由题意得∠PAO=30°,∠PBO=45°,∴AO=√3h,BO=h,所以AB2=202=(√3h)2+h2-2√3h·h·cos30°,因此h2=400,h=20.故选B.3.一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°,距离为12√6海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为12√3海里,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,则此时灯塔C位于游轮的()A.正西方向B.南偏西75°方向C.南偏西60°方向D.南偏西45°方向答案C1解析如图,在△ABD中,B=45°,由正弦定理有ADsin45°=ABsin60°=12√6√32=24√2,AD=24.在△ACD中,由余弦定理有CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos30°,因为AC=12√3,AD=24,所以CD=12,由正弦定理有CDsin30°=ACsin∠CDA,sin∠CDA=√32,故∠CDA=60°或120°.因AD>CD,故∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,故选C.4.某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方点A的距离,他站在地面C处,利用皮尺量得BC=9m,利用测角仪测得仰角∠ACB=45°,测得仰角∠BCD后通过计算得到sin∠ACD=√2626,则AD的距离为()A.2mB.2.5mC.3mD.4m答案C解析设AD=xm,则BD=(9-x)m,CD=√92+(9-x)2m.在△ACD中应用正弦定理得CDsin∠DAC=ADsin∠ACD,即√92+(9-x)2√22=x√2626,则2[92+(9-x)2]=26x2,整理,得2x2+3x-27=0,即(2x+9)(x-3)=0,解得x=3(m).5.如图,要测量底部不能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观测点.在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500m,则电视塔的高度是()A.100√2mB.400m2C.200√3mD.500m答案D解析设塔高为xm,则由已知可得BC=xm,BD=√3xm,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,即3x2=x2+5002+500x,解得x=500(m).6.在200m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为m.答案4003解析如图,由已知可得∠BAC=30°,∠CAD=30°,∴∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠ADC=120°.又AB=200m,∴AC=4003√3m.在△ACD中,由余弦定理得,AC2=2CD2-2CD2·cos120°=3CD2,∴CD=1√3AC=4003m.7.如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα=.答案√2315解析在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=516,则sinα=√23116,所以tanα=sinαcosα=√2315.8.3海岛B上有一座高为10米的塔,塔顶的一个观测站A,上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上,且俯角为30°的C处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上,且俯角45°的D处.(假设游船匀速行驶)则CD的长;又经过一段时间后,游船到达海岛B的正西方向E处,此时游船距离海岛B米.答案205√6解析(1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=10米,则BC=10√3米.在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=10米,则BD=10米.在Rt△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°,则CD=√BD2+BC2=20(米).(2)在Rt△BCD中,∠BCD=30°,又因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°,所以∠CEB=45°.在△BCE中,由正弦定理可知EBsin30°=BCsin45°,所以EB=BCsin30°sin45°=5√6(米).能力提升组9.在某个位置测得某山峰仰角为α,对着山峰在水平地面上前进900m后测得仰角为2α,继续在水平地面上前进300√3m后,测得山峰的仰角为4α,则该山峰的高度为()A.300mB.450mC.300√3mD.600m答案B解析如图所示,易知,在△ADE中,∠DAE=2α,∠ADE=180°-4α,AD=300√3m,由正弦定理,得900sin4α=300√3sin2α,解得cos2α=√32,则sin2α=12,sin4α=√32,因此在Rt△ABC中山峰的高度h=300√3sin4α=300√...
