（江苏专用）高考数学一轮复习 第四章 导数及其应用 第16课 导数的概念及运算教师用书-人教版高三全册数学试题VIP免费

第四章导数及其应用第16课导数的概念及运算[最新考纲]内容要求ABC导数的运算√1．导数与导函数的概念(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)．(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．2．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q＋)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝4.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．()1(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．()(4)若f(a)＝a3＋2ax－x2，则f′(a)＝3a2＋2x.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为________．[由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.]3．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．3[因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.]4．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x＋y＋2＝0[ y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.1[ f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． 切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]导数的计算求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝x；(3)y＝x－sincos；(4)y＝.[解](1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex.(2) y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(3) y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx.(4)y′＝′＝＝－.[规律方法]1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练](1)f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0等于________.【导学号：62172089】(2)(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为2f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．(1)1(2)3[(1)f′(x)＝2017＋lnx＋x×＝2018＋lnx，故由f′(x0)＝2018，得2018＋lnx0＝2018，则lnx0＝0，解得x0＝1.(2)f′(x)＝a＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]导数的几何意义角度1求切线方程已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．[思路点拨](1)点P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0.[解](1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′＝x，∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋. 点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x...