第三节二项式定理☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。2016，全国卷Ⅰ，13,5分(求特殊项系数)2016，北京卷，10,5分(求特殊项系数)2015，全国卷Ⅰ，10,5分(求特殊项系数)2014，全国卷Ⅰ，13,5分(求特殊项系数)以考查二项展开式、通项公式及二项式系数的性质为主，赋值法求系数的和也是考查的热点，题型以选择题、填空题为主，要求相对较低。微知识小题练自|主|排|查1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)。2．二项展开式的通项第k＋1项为：Tk＋1＝Can－kbk。3．二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0,1,2，…，n)。4．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C增减性二项式系数C当k＜(n∈N*)时，是递增的当k＞(n∈N*)时，是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项Cn取得最大值当n为奇数时，中间的两项Cn和Cn取得最大值5.二项式系数和的性质(1)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于C＋C＋C＋…＋C，即2n。(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1。微点提醒1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项。2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关。(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关。当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。小|题|快|练一、走进教材1．(选修2－3P31练习T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是()A．CB．－CC．CD．－C【解析】二项式的通项为Tr＋1＝Cx10－r(－1)r，当r＝5时，C(－1)r＝－C。故选D。【答案】D2．(选修2－3P35练习T1(2)改编)化简：C＋C＋…＋C＝________。【解析】因为C＋C＋C＋…＋C＝22n，所以C＋C＋…＋C＝(C＋C＋…＋C)＝22n－1【答案】22n－1二、双基查验1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．CB．CC．CD．(－1)m－1C【解析】(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1。故选D。【答案】D2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于()A．63B．64C．31D．32【解析】逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝26－C＝64－1＝63。故选A。【答案】A3．已知7的展开式的第4项等于5。则x等于()A.B．－C．7D．－7【解析】7的展开式中T4＝Cx43＝5，所以x＝－。故选B。【答案】B4．(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________。(用数字作答)【解析】由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10。【答案】105．在二项式5的展开式中，含x项的系数是－80，则实数a的值为________。【解析】二项式5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C(－a)rx10－3r，令10－3r＝1，得r＝3。故含x项的系数是C(－a)3＝－80，解得a＝2。【答案】2微考点大课堂考点一二项展开式的特定项或系数问题多维探究角度一：二项展开式的特定项或系数【典例1】(1)(2016·北京高考)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________。(用数字作答)(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________。(用数字作答)【解析】(1)(1－2x)6的展开式的通项Tr＋1＝C(－2)rxr，当r＝2时，T3＝C(－2)2x2＝60x2，所以x2的系数为60。(2)因为(x＋y)8的展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kyk(0≤k≤8，k∈N)，当k＝7时，T8＝Cxy7＝8xy7，当k＝6时，T7＝Cx2y6＝28x2y6，所以(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的项为x·8xy7＋(－y)·28x2y6＝－20x2y7，故系数为－20。【答案】(1)60(2)－20角度二：多项展开式的特定项或系数【典例2】(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60(2)5的展开式中的常数项为________。(用数字作答)【解析】(1)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2。其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5。所以x5y2的系数为CC...
