第一节平行射影课后导练基础达标1.下列结论中正确的是()①圆的平行射影可以是椭圆,但椭圆的射影不可能是圆②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形③两条平行线段之比等于它们的平行射影之比④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然A.①②B.②③C.③④D.②③④解析:∵平面图形的射影具有可逆性,即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时,该图形与其射影可以相互看作为对方的平行射影,只是投影方向相反罢了.∴①是错误的,④是正确的.∵平行线的平行射影仍然是平行线,∴平行四边形平行射影仍然是平行四边形,故②正确.③正确.证明见类题演练1.答案:D综合运用2.证明三角形的中线的平行射影仍然是该三角形平行射影的中线.已知:如图3-1-6,△ABC及其中线AD在平面α上的平行射影分别是△A′B′C′和A′D′.求证:A′D′为△A′B′C′的中线.图3-1-6证明:连结BB′,DD′,CC′,则BB′∥DD′∥CC′.∵D是BC中点,∴D′是B′C′中点.∴A′D′仍是△A′B′C′的中线.拓展探究3.证明任意一对三角形面积之比等于它们的平行射影面积之比.思路分析:我们可以按照从特殊到一般的证明思路.首先证明三角形与其投影具有两公共顶点.然后再证一般情况.证明:(1)如图3-1-7,△A1B1C1与△A2B2C2和△A1′B1′C1′、△A2′B2′C2′各有两对对应顶点A1和A1′,B1和B1′,A2和A2′,B2和B2′重合,在两平面的交线g上.图3-1-7∵C1与C1′,C2与C2′是射影对应点,1∴C1C1′∥C2C2′.由这些点向对应轴直线g作垂线C1H1,C1′H1′,C2H2,C2′H2′.设C1C2与C1′C2′相交于直线g上一点x,由相似三角形得2211HCHC=xCxC21,''''2211HCHC=xCxC''21.∵C1C1′∥C2C2′,∴xCxC21=xCxC''21=''2211CCCC=k时,2211HCHC=''''2211HCHC=k.又∵△A1B1C1与△A1′B1′C1′同底,△A2B2C2与△A2′B2′C2′同底,∴''''''222111222111CBACBACBACBASSSS或''''''222222111111CBACBACBACBASSSS=k,其中k为常数.(2)当三角形与其射影没有公共顶点时,如图3-1-8.图3-1-8在△A1B1C1与其射影A1′B1′C1′中,三对对应边相交于对应轴g上.由(1)中结论知:yxCyxCSS'11=k,即yxCS1=kyxCS'1.yzAyzASS'11=k,即yzAS1=kyzAS'1.xzBxzBSS'11=k,即xzBS1=kxzBS'1.∴111CBAS=yxCS1+xzBS1-yzAS1=kyxCS'1+kxzBS'1-kyzAS'1=k(yxCS'1+xzBS'1-yzAS'1)=k'''111CBAS.∴'''111111CBACBASS=k.同理,'''222222CBACBASS=k,2∴''''''222222111111CBACBACBACBASSSS.备选习题4.已知平面α、β相交于直线g,△ABC及点P在平面α上,P′是P在β上的射影.求作△ABC在平面β上与P1P′投影方向相同的射影.图3-1-9作法:(1)连结PP′.(2)作直线PA交直线g于x.(3)连结P′x.(4)过A作AA′∥PP′交直线P′x于A′,则A′为A的射影.(5)同法作出B、C的射影B′、C′.(6)连结A′B′,A′C′,B′C′.则△A′B′C′即为△ABC的平行射影.3
