高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学业分层测评 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2.4.1抛物线的标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2xB．y2＝2xC．x2＝2yD．x2＝－2y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.【答案】B2．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8【解析】设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2. |AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D. 点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.【答案】B3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A.B．C．2D．2【解析】抛物线的焦点为(，0)，即c＝.双曲线的渐近线方程为y＝x，由＝，即b＝a，所以b2＝2a2＝c2－a2，所以c2＝3a2，即e2＝3，e＝，即离心率为.【答案】B4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为()【导学号：15460045】A．3B．2C．2D．【解析】抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±x，它们所围成的三角形为边长等于2的正三角形，所以面积为3，故选A.【答案】A5．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p.故选C.【答案】C二、填空题16．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．【解析】抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.【答案】27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】②④8．抛物线y＝2x2的准线方程为________．【解析】方程化为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，∴准线方程为y＝－.【答案】y＝－三、解答题9．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．【解】由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，则焦点为. 焦点在双曲线－＝1上，∴＝1，求得m＝±4，∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.10．已知平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．【解】法一设点P的坐标为(x，y)，则有＝|x|＋1.两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.∴y2＝即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．法二由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．[能力提升]1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A．2B．4C.D．＋1【解析】将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直2线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A.【答案】A2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()【导学号：15460046】A.B．C.D．2【解析】根据题意画出简图(图略)，设∠AFO＝θ(0<θ<π)，|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cosθ，得cosθ＝，...