初中数学凹四边形的一个性质及其应用1.凹四边形的性质如图1，在凹四边形ABOC中，有。图1证明：如图2，连结AO并延长，则由三角形外角性质得图2又所以2.应用例1：如图3，求的度数。图3解：由凹四边形的性质知，又所以四边形CDEO的内角和＝360°。例2：如图4，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交于G，若，BGC=110°，则A的大小是（）A.70°B.75°C.80°D.85°图4解：设。由凹四边形的性质知①②由①得③②－③，得即，故选C。例3：如图5，BP平分∠ABC，交CD于F，DP平分∠ADC，交AB于E，又DP、BP交于P，AB、CD交于O，若∠A=40°，∠C=36°，求∠P的度数。图5解：由凹四边形的性质知①又由三角形外角性质知②③由①×2＝②＋③，得故④对比①、④，得。例4：如图6，对角互补的四边形ABCD中，两组对边延长后分别交于P、Q两点，∠P、∠Q的平分线交于M，求证PM⊥QM。图6证明：由凹四边形的性质知①②①＋②，得又所以又因为所以，即。例5：图7、图8、图9分别是五角星及其变形。图7图8图9（1）图7是一个五角星，求的度数。（2）图7中的点A向下移动到BE上时，如图8，五个角的和（即）有无变化？并说明理由。（3）图8中的点C向上移动到BD上时，如图9，五个角的和（即）有无变化？并说明理由。解：（1）如图7，又所以的内角和（2）如图8，，又所以的内角和即点A向下移动到BE上时，五个角的和不变。（3）如图9，又所以的内角和即点C再向上移动到BD上时，五个角的和仍保持不变。例6.如图10，求的度数。图10解：如图10，连结EG，则，又所以＝四边形BCDH的内角和＋△GEF的内角和＝360°＋180°＝540°。
