一二维形式的柯西不等式,[学生用书P42])[A基础达标]1．二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为()A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R)C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R)解析：选C.二维形式的柯西不等式为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.故选C.2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为()A．4B．2C．1D．解析：选A.≥＝4，故选A.3．函数y＝＋2的最大值是()A．B．C．3D．5解析：选B.设m＝(，)，n＝(1，2)，则m·n＝＋2≤|m||n|＝·＝，当且仅当＝2，即x＝时等号成立．4．已知＋＝2，x，y∈R＋，则x＋y的最小值是()A．B．C．D．5解析：选A.因为x＋y＝(x＋y)≥·＝×(2＋3)2＝，即(x＋y)min＝.5．已知a＋b＝1，则以下成立的是()A．a2＋b2＞1B．a2＋b2＝1C．a2＋b2＜1D．a2b2＝11解析：选B.由柯西不等式，得1＝a＋b≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，当且仅当＝时，上式取等号，所以ab＝，即a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.6．函数y＝＋的最大值是________．解析：因为(＋)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8，当且仅当＝，即x＝3时，等号成立，所以＋≤2，函数y取得最大值2.答案：27．已知x，y，a，b均为实数，且满足x2＋y2＝4，a2＋b2＝9，则ax＋by的最大值m与最小值n的乘积mn＝________．解析：因为a2＋b2＝9，x2＋y2＝4，由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，得36≥(ax＋by)2，当且仅当ay＝bx时取等号，所以ax＋by的最大值为6，最小值为－6，即m＝6，n＝－6，所以mn＝－36.答案：－368．若函数y＝a＋的最大值为2，则正数a的值为________．解析：(a＋)2＝≤(a2＋4)＝(a2＋4)，由已知得(a2＋4)＝20，解得a＝±2.又因为a＞0，所以a＝2.答案：29．已知m＞0，n＞0，m＋n＝p，求证：＋≥，指出等号成立的条件．解：根据柯西不等式，得(m＋n)≥＝4.于是＋≥＝.当m＝n＝时等号成立．10．已知a＞0，b＞0，且a2＋b2＝，若a＋b≤m恒成立，求m的最小值．解：因为a＞0，b＞0，且a2＋b2＝，所以9＝(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2.2所以a＋b≤3.又因为a＋b≤m恒成立，所以m≥3.[B能力提升]1．设x，y∈R＋，且x＋2y＝36，则＋的最小值为________．解析：因为x>0，y>0，且x＋2y＝36，所以＋＝×(x＋2y)＝[()2＋()2]≥＝，当且仅当·＝·，即x＝y时，等号成立．由解得，所以当x＝y＝12时，＝.答案：2．函数f(x)＝－的最大值是________．解析：f(x)＝－.令a＝(x－4，2)，b＝(x－3，1)，则f(x)＝|a|－|b|≤|a－b|＝＝.当且仅当a∥b，即2x－6＝x－4，x＝2时，等号成立．所以f(x)max＝f(2)＝.答案：3．已知：p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.证明：设m＝(p，q)，n＝(p，q)，则p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m|·|n|＝·＝.又(p＋q)2≤2(p2＋q2)．所以≤p2＋q2≤，所以≤，所以(p＋q)4≤8(p＋q)，(p＋q)3≤8，所以p＋q≤2.4．已知函数f(x)＝|x－4|.(1)若f(x)≤2，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，求g(x)＝2＋的最大值．解：(1)由已知得，|x－4|≤2，即－2≤x－4≤2，即2≤x≤6，即x的取值范围为[2，6]．3(2)由2≤x≤6可得g(x)＝2＋，由柯西不等式，得g(x)≤＝2.当且仅当＝，即x＝时，g(x)的最大值为2.4
