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高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题_第1页
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一二维形式的柯西不等式,[学生用书P42])[A基础达标]1.二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为()A.a2+b2≥2ab(a,b∈R)B.(a2+b2)(c2+d2)≥(ab+cd)2(a,b,c,d∈R)C.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R)D.(a2+b2)(c2+d2)≤(ac+bd)2(a,b,c,d∈R)解析:选C.二维形式的柯西不等式为(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.故选C.2.已知x,y∈R+,且xy=1,则的最小值为()A.4B.2C.1D.解析:选A.≥=4,故选A.3.函数y=+2的最大值是()A.B.C.3D.5解析:选B.设m=(,),n=(1,2),则m·n=+2≤|m||n|=·=,当且仅当=2,即x=时等号成立.4.已知+=2,x,y∈R+,则x+y的最小值是()A.B.C.D.5解析:选A.因为x+y=(x+y)≥·=×(2+3)2=,即(x+y)min=.5.已知a+b=1,则以下成立的是()A.a2+b2>1B.a2+b2=1C.a2+b2<1D.a2b2=11解析:选B.由柯西不等式,得1=a+b≤[a2+(1-a2)][(1-b2)+b2]=1,当且仅当=时,上式取等号,所以ab=,即a2b2=(1-a2)(1-b2),于是a2+b2=1.6.函数y=+的最大值是________.解析:因为(+)2≤(1+1)(x-1+5-x)=8,当且仅当=,即x=3时,等号成立,所以+≤2,函数y取得最大值2.答案:27.已知x,y,a,b均为实数,且满足x2+y2=4,a2+b2=9,则ax+by的最大值m与最小值n的乘积mn=________.解析:因为a2+b2=9,x2+y2=4,由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,得36≥(ax+by)2,当且仅当ay=bx时取等号,所以ax+by的最大值为6,最小值为-6,即m=6,n=-6,所以mn=-36.答案:-368.若函数y=a+的最大值为2,则正数a的值为________.解析:(a+)2=≤(a2+4)=(a2+4),由已知得(a2+4)=20,解得a=±2.又因为a>0,所以a=2.答案:29.已知m>0,n>0,m+n=p,求证:+≥,指出等号成立的条件.解:根据柯西不等式,得(m+n)≥=4.于是+≥=.当m=n=时等号成立.10.已知a>0,b>0,且a2+b2=,若a+b≤m恒成立,求m的最小值.解:因为a>0,b>0,且a2+b2=,所以9=(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2.2所以a+b≤3.又因为a+b≤m恒成立,所以m≥3.[B能力提升]1.设x,y∈R+,且x+2y=36,则+的最小值为________.解析:因为x>0,y>0,且x+2y=36,所以+=×(x+2y)=[()2+()2]≥=,当且仅当·=·,即x=y时,等号成立.由解得,所以当x=y=12时,=.答案:2.函数f(x)=-的最大值是________.解析:f(x)=-.令a=(x-4,2),b=(x-3,1),则f(x)=|a|-|b|≤|a-b|==.当且仅当a∥b,即2x-6=x-4,x=2时,等号成立.所以f(x)max=f(2)=.答案:3.已知:p,q∈R+,且p3+q3=2,求证:p+q≤2.证明:设m=(p,q),n=(p,q),则p2+q2=pp+qq=|m·n|≤|m|·|n|=·=.又(p+q)2≤2(p2+q2).所以≤p2+q2≤,所以≤,所以(p+q)4≤8(p+q),(p+q)3≤8,所以p+q≤2.4.已知函数f(x)=|x-4|.(1)若f(x)≤2,求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值.解:(1)由已知得,|x-4|≤2,即-2≤x-4≤2,即2≤x≤6,即x的取值范围为[2,6].3(2)由2≤x≤6可得g(x)=2+,由柯西不等式,得g(x)≤=2.当且仅当=,即x=时,g(x)的最大值为2.4

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