课时作业(九)直线与椭圆的位置关系A组基础巩固1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.解析：依题意得，c＜b，即c2＜b2，c2＜a2－c2,2c2＜a2，故离心率e＝＜，又0＜e＜1，∴0＜＜.答案：C2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是()A.B．－C．±D．±解析：把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.答案：C3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析：由题意知，F(－c,0)，A(a,0)，B. BF⊥x轴，∴＝.又 AP＝2PB，∴＝2即e＝＝.答案：D4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A.B.C.D.解析：椭圆可化为＋＝1，∴F(－，0)，又 直线AB的斜率为，∴直线AB为y＝x＋由得7x2＋12x＋8＝0∴|AB|＝＝.答案：B5．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则＋等于()A.B.C.D.解析：由已知得直线l：y＝(x＋1)．联立，可得A(0，)，B，又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，∴＋＝.答案：A6．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A.B.C.D.解析：由消去y得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1＋x2＝，y1＋y2＝∴MN的中点为P由题意知，kOP＝∴＝.答案：A7．已知点M(，0)，直线y＝k(x＋)与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则△ABM的周长为________．解析：由题意，椭圆＋y2＝1中a＝1，b＝1，c＝，∴点M(，0)为椭圆＋y2＝1的右焦点，直线y＝k(x＋)过椭圆的左焦点，∴由椭圆的定义，可得△ABM的周长为4a＝4×2＝8.故答案为8.答案：88．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析：由题意可设椭圆方程＋＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝.答案：29．若直线y＝2x＋b与椭圆＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为________．解析：由得＋(2x＋b)2＝1.整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0.Δ＝(16b)2－4×17(4b2－4)＜0，1解得b＞或b＜－.答案：(－∞，－)∪(，＋∞)10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．解：椭圆的右焦点为F(1,0)，∴lAB：y＝2x－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x2－5x＝0，∴x＝0或x＝，∴A(0，－2)，B，∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×＝.B组能力提升11．中心在原点，焦点坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为________．解析：椭圆焦点在y轴上，可设方程为＋＝1(a＞b＞0)设直线3x－y－2＝0交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝3(x1＋x2)－4＝－1，且①－②得＋＝0，＝－，∴－＝－，＝＝＝＝3.∴a2＝75，b2＝25.∴椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝112．若直线y＝kx＋1与曲线x＝有两个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)，又 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，k＝－，则相交时k＜－.答案：(－∞，－)13．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．解析：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)．其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)法一：A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，又由OB＝2OA得x＝4x，即＝，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.2法二：A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB...
