高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算课时跟踪训练 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

2空间向量的运算[A组基础巩固]1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为AC1的有()①AB＋BC＋CC1；②AA1＋B1C1＋D1C1；③AB－C1C＋B1C1；④AA1＋DC＋B1C1.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：①AB＋BC＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；②AA1＋B1C1＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；③AB－C1C＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；④AA1＋DC＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.所以，所给四个式子的运算结果都是AC1.答案：D2．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，则AB＋(BD＋BC)＝()A.ANB.CNC.BCD.BC解析：AB＋(BD＋BC)＝AB＋BN＝AN.答案：A3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝AC·AD＝AB·AD＝0，则△BCD为()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：BD＝BA＋AD，BC＝BA＋AC，CD＝CA＋AD，∴cos〈BD，BC〉＝＝>0，∴〈BD，BC〉为锐角，同理cos〈CB，CD〉>0，∴∠BCD为锐角，cos〈DB，DC〉>0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．答案：B4．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则AF＝()A.AA1＋AB＋ADB.AA1＋AB＋ADC.AA1＋AB＋AD1D.AA1＋AB＋AD解析：如图所示，AF＝AE，AE＝AA1＋A1E，A1E＝A1C1，A1C1＝A1B1＋A1D1，A1B1＝AB，A1D1＝AD，所以AF＝＝AA1＋AB＋AD，故选D.答案：D5.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量BD1的是()①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1.A．①②B．②③C．③④D．①④解析：①(A1D1－A1A)－AB＝A1D1＋AA1＋BA＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC＋BB1＋C1D1＝BC1＋C1D1＝BD1；③(AD－AB)－DD1＝BD－DD1＝BD1－2DD1≠BD1；④(B1D1－A1A)＋DD1＝B1D1＋AA1＋DD1＝B1D1＋BB1＋DD1＝BD1＋DD1≠BD1.答案：A6．已知非零向量a，b不平行，且|a|＝|b|，则a＋b与a－b的位置关系是________．解析： (a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：垂直7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．答案：08．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为__________．解析： |a|＝3，|b|＝5，〈a，b〉＝135°，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×5×＝－15. m⊥n，∴m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝18－15(1＋λ)＋25λ＝3＋10λ＝0，∴λ＝－.答案：－9.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量：2(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.解析：(1)因为P是C1D1的中点，所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋b＋c.(2)因为N是BC的中点，所以A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.(3)因为M是AA1的中点，所以MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋＝a＋b＋c.又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝a＋c，所以MP＋NC1＝＋＝a＋b＋c.10.如图，在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解析：(1)证明：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a，∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0，∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.3(2) AC′＝－a＋c，|AC′|＝|a|，|CE|＝|a|，AC′·CE＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈AC′，CE〉＝＝，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.[B组能力提升]1．已知空间向量a、b满足条件a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝()A．30°B．45°C．60°D．不确定解析： a＋3b与7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0.① a－4b与7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0.②由①②得a·b＝|b|2，|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝60°.答案：C2．已知在正四面体DABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为()A.B.C.D.解析：如图，连接AG...