3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义[A基础达标]1.已知复数z1＝－2－i，z2＝i，i是虚数单位，则复数z1－2z2＝（）A.－1＋2iB.1－2iC.1＋2iD.－2－3i解析：选D.因为z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－2z2＝－2－i－2i＝－2－3i.2.设a，b∈R，z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为（）A.1＋iB.2＋iC.3D.－2－i解析：选D.由得所以a＋bi＝－2－i.3.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（）A.B.5C.2D.10解析：选B.依题意，AC对应的复数为（－4－3i）－（－1＋i）＝－3－4i，因此AC的长度即为|－3－4i|＝5.4.复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为（）A.a＝－3，b＝－4B.a＝－3，b＝4C.a＝3，b＝－4D.a＝3，b＝4解析：选A.因为z1＋z2＝（a－3）＋（4＋b）i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝（a＋4i）－（－3＋bi）＝（a＋3）＋（4－b）i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.5.设f（z）＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f（z1－z2）＝（）A.B.5C.D.5解析：选D.因为z1－z2＝5＋5i，所以f（z1－z2）＝f（5＋5i）＝|5＋5i|＝5.6.已知复数z满足z＋（1＋2i）＝5－i，则z＝Ｗ.解析：z＝（5－i）－（1＋2i）＝4－3i.答案：4－3i7.已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i（a∈R），且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是Ｗ.解析：因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝（2－a）＋（a－1）i在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得a＞2.答案：（2，＋∞）8.已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝Ｗ.解析：因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i（a∈R），由|z|＝4得a2＋4＝16，1所以a2＝12，所以a＝±2，所以z＝±2－2i.答案：±2－2i9.设m∈R，复数z1＝＋（m－15）i，z2＝－2＋m（m－3）i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围.解：因为z1＝＋（m－15）i，z2＝－2＋m（m－3）i，所以z1＋z2＝＋[（m－15）＋m（m－3）]i＝＋（m2－2m－15）i.因为z1＋z2是虚数，所以m2－2m－15≠0且m≠－2，所以m≠5且m≠－3且m≠－2，所以m的取值范围是（－∞，－3）∪（－3，－2）∪（－2，5）∪（5，＋∞）.10.已知z1＝（3x＋y）＋（y－4x）i，z2＝（4y－2x）－（5x＋3y）i（x，y∈R），设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.解：z＝z1－z2＝（3x＋y）＋（y－4x）i－[（4y－2x）－（5x＋3y）i]＝[（3x＋y）－（4y－2x）]＋[（y－4x）＋（5x＋3y）]i＝（5x－3y）＋（x＋4y）i.又因为z＝13－2i，且x，y∈R，所以解得所以z1＝（3×2－1）＋（－1－4×2）i＝5－9i，z2＝4×（－1）－2×2－[5×2＋3×（－1）]i＝－8－7i.[B能力提升]11.若复数z满足条件|z－（2－2i）|＝1，则复平面内z对应的点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：选A.设z＝x＋yi（x，y∈R），则|z－（2－2i）|＝|x＋yi－2＋2i|＝|（x－2）＋（y＋2）i|＝1，所以（x－2）2＋（y＋2）2＝1.所以复平面内z对应的点的轨迹是圆.12.在复平面内，△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：选A.设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义，可知点Z为△ABC的外心.故选A.13.已知在复平面内的正方形ABCD有三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，－1－2i，则第四个顶点对应的复数是.解析：设复平面内正方形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，则OA＝（1，2），OB＝（－2，1），OC＝（－1，－2），设OD＝（a，b）.因为AB＝OB－OA＝（－3，－1），BC＝OC－OB＝（1，－3），且1×（－3）＋（－1）×（－3）＝20，所以AB⊥BC，所以AB＝DC，即向量AB与DC对应的复数相等，所以－3－i＝－1－a－（2＋b）i，所以解得所以OD＝（2，－1）.故第四个顶点对应的复数是2－i.答案：2－i14.（选做题）已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝.（1）求复数z在复平面内对应的点的轨迹；（2）求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解：（1）设z＝x＋yi（x，y∈R），由|z－z0|＝，即|x＋yi－（2＋2i）|＝|（x－2）＋（y－2）i|＝，解得（x－2）2＋（y－2）2＝2，所以复数z对应的点的轨迹是以Z0（2，2）为圆心，半径为的圆.（2）当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值.因为|OZ0|＝2，半径r＝，所以当z＝1＋i时，|z|min＝.3
