第39课等差数列一、填空题1.已知数列{an}是等差数列,a3=1,a4+a10=18,那么首项a1=.2.在等差数列{an}中,已知a1=1,d=4,那么该数列前20项和S20=.3.在等差数列{an}中,若a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=.4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-9,a3+a7=-6,则当Sn取最小值时,n=.5.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若nnST=2431nn,则an=bn时n=.6.设{an}是公差不为零的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则a2015=.7.(2014·泰州期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2a4a6a8=120,且4681aaa+2681aaa+2481aaa+2461aaa=760,则S9的值为.8.已知等差数列{an}的首项a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足2nS=3n2an+2-1nS,an≠0,n≥2,n∈N*,那么a=.二、解答题9.已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3a5=63,a2+a6=16.(1)求数列{an}的通项;(2)当n为多少时,Sn取得最大值?并求出其最大值;(3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.10.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常数.(1)求a1及an;(2)若对于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.11.(2014·苏锡常镇连徐一调)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且(Sn+1+1λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈N*都成立.(1)若λ=1,求数列{an}的通项公式;(2)求λ的值,使数列{an}是等差数列.2第39课等差数列1.-3解析:设等差数列{an}的公差为d,则有a3=a1+2d=1,a4+a10=(a1+3d)+(a1+9d)=2a1+12d=18,解得a1=-3,d=2.2.780解析:在等差数列{an}中,因为a1=1,d=4,所以S20=20+20192×4=780.3.744.6解析:因为a3+a7=2a5=-6,所以a5=-3,所以d=2,an=-9+2(n-2)=2n-13,所以a6=-1,a7=1,所以S6最小.5.2解析:因为nnab=22nnab=12-112-1nnaabb=12-112-1(2-1)()2(2-1)()2nnnaanbb=2-12-1nnST=2(2-1)43(2-1)1nn=213-1nn,所以当an=bn时,213-1nn=1,解得n=2.6.1009解析:设等差数列{an}的公差为d,d≠0,由题意得23a=a1a6,即(2+2d)2=2(2+5d),解得d=12,所以a2015=2+2014×12=1009.7.632解析:由题意得4681aaa+2681aaa+2481aaa+2461aaa=2120a+4120a+6120a+8120a=760,则2(a2+a8)=14,即a2+a8=7,所以S9=199()2aa=92(a2+a8)=632.8.3解析:在2nS=3n2an+2-1nS中,分别令n=2,n=3及a1=a,得(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,因为an≠0,所以a2=12-2a,a3=3+2a.因为数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,即2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3.经检验a=3时,an=3n,Sn=3(1)2nn,Sn-1=3(-1)2nn,满足2nS=3n2an+2-1nS.所以a=3.9.(1)由题意知a2+a6=a3+a5=16,又a3·a5=63,所以a3与a5是方程x2-16x+63=0的两根,3解得357,9aa或359,7.aa又因为{an}是递减的等差数列,所以359,7,aa则公差d=53-2aa=-1,a1=11,所以an=a1+(n-1)d=11+(n-1)(-1)=12-n.(2)由10,0,nnaa得12-0,11-0,nn解得11≤n≤12,又n∈N*,所以当n=11或n=12时,Sn取得最大值,且最大值为S11=S12=12×11+12112×(-1)=66.(3)由(2)知,当n≤12时,an≥0,当n>12时,an<0,当n≤12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=Sn=1()2nnaa=(1112-)2nn=-12n2+232n.当n>12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+a12-(a13+a14+a15+…+an)=-Sn+2S12=12n2-232n+132.所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=22123-,12,22123-132,12,22nnnnnn.10.(1)当n=1时,a1=S1=k+1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1①.经检验,当n=1时,①式成立,所以an=2kn-k+1.(2)因为am,a2m,a4m成等比数列,所以22ma=am·a4m,即(4km-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),整理得mk(k-1)=0.因为对任意的m∈N*,上式均成立,所以k=0或k=1.11.(1)若λ=1,则(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1,a1=S1=1,令n=1,得a2=2.又因为an>0,Sn>0,所以111nnSS=1nnaa,所以2111SS·3211SS·…·111nnSS=21aa·32aa·…·1nnaa,化简得Sn+1+1=2an+1.①所以当n≥2时,Sn+1=2an.②4①-②,得an+1=2an,所以1nnaa=2(n≥2).当n=1时上式也成立.所以数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列,即an=2n-1(n∈N*).(2)令n=1,得a2=λ+1.令n=2,得a3=(λ+1)2.要使数列{an}是等差数列,必须有2a2=a1+a3,解得λ=0.当λ=0时,Sn+1an=(Sn+1)an+1,且a2=a1=1.当n≥2时,Sn+1(Sn-Sn-1)=(Sn+1)(Sn+1-Sn),整理,得2nS+Sn=Sn+1Sn-1+Sn+1,-111nnSS=1nnSS,从而2111SS·3211SS·…·-111nnSS=32SS·43SS·…·1nnSS,化简,得Sn+1=Sn+1,所以an+1=1.综上所述,an=1(n∈N*).所以λ=0时,数列{an}是等差数列.5
