章末综合测评(三)空间向量与立体几何(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是()A．B．(－1，－3,2)C．D．C[a＝(1，－3,2)＝－2.]2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1F＝A1C1，AF＝xAA1＋y(AB＋AD)，则()A．x＝1，y＝B．x＝1，y＝C．x＝，y＝1D．x＝1，y＝A[AF＝AA1＋A1F＝AA1＋A1C1＝AA1＋AC＝AA1＋(AB＋AD)，∴x＝1，y＝.应选A．]3．已知A(2，－4，－1)，B(－1,5,1)，C(3，－4,1)，D(0,0,0)，令a＝CA，b＝CB，则a＋b为()A．(5，－9,2)B．(－5,9，－2)C．(5,9，－2)D．(5，－9，－2)B[a＝CA＝(－1,0，－2)，b＝CB＝(－4,9,0)，∴a＋b＝(－5,9，－2)．]4．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若AP＝2PB，则|PD|的值是()【导学号：46342190】A．B．C．D．C[设P(x，y，z)，则AP＝(x－1，y－2，z－1)，PB＝(－1－x,3－y,4－z)，由AP＝2PB知x＝－，y＝，z＝3，即P.由两点间距离公式可得|PD|＝.]5．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论不正确的是()A．AB＝－C1D1B．AB·BC＝0C．AA1·B1D1＝0D．AC1·A1C＝0D[如图，AB∥C1D1，AB⊥BC，AA1⊥B1D1，故A，B，C选项均正确．]6．设▱ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，如图1所示，若PA＋PB＋PC＋PD＝xPE，则x＝()1图1A．2B．3C．4D．5C[ E为AC，BD的中点，∴由中点公式得PE＝(PA＋PC)，PE＝(PB＋PD)．∴PA＋PB＋PC＋PD＝4PE.从而x＝4.]7．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A．B．C．D．D[ a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，所以解得∴λ＝3x－2y＝.]8．若向量a＝(x,4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x＝()A．3B．－3C．－11D．3或－11A[因为a·b＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为，所以＝，解得x＝3或－11(舍去)，故选A．]9．若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，则m＝()A．2B．3C．4D．5C[ l⊥α，∴直线l的方向向量平行于平面α的法向量．∴＝＝.∴m＝4.]10．直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角为()A．30°B．45°C．60°D．90°C[建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，∴BA1＝(－1,0,1)，AC1＝(0,1,1)，2∴cos〈BA1，AC1〉＝＝＝.∴〈BA1，AC1〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成角为60°.]11．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()【导学号：46342191】A．B．C．D．A[以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC＝(0,1,0)，DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.]12．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角ABDP的大小为()A．30°B．45°C．60°D．75°A[如图所示，建立空间直角坐标系，则PB＝，BD＝(－3,4,0)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则得即令x＝1，则n＝.又n1＝为平面ABCD的一个法向量，∴cos〈n1，n〉＝＝，∴所求二面角为30°.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知正方体ABCDA′B′C′D′，则下列三个式子中：①AB－CB＝AC；②AA′＝CC′；③AB＋BB′＋BC＋C′C＝AC′.其中正确的有________．①②[①AB－CB＝AB＋BC＝AC，正确；②显然正确；③AB＋BB′＋BC＋C′C＝(AB＋BC)＋(BB′＋C′C)＝AC＋0≠AC′，错误．]14．若向量m＝(－1,2,0)，n＝(3,0，－2)都与一个二面角的棱垂直，则m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为________．－或[ cos〈m，n〉＝＝＝－.∴二面角的余弦值为－或.]15．如图2...
