第25讲平面向量的基本定理及坐标表示课时达标一、选择题1．若向量AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BC＝()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(3,7)D．(－3，－7)B解析因为AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，所以BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B．2．已知向量m＝(a，－2)，n＝(1,1－a)，且m∥n，则实数a＝()A．－1B．2或－1C．2D．－2B解析因为m∥n，所以a(1－a)＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.故选B．3．在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，A(0,1)，B(1，－2)，C(m,0)．若OB∥AC，则实数m的值为()A．－2B．－C．D．2C解析因为OB＝(1，－2)，AC＝(m，－1)．又因为OB∥AC，所以＝，m＝.故选C．4．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零实数x，y，使得AO＝xAB＋yAC，且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为()A．B．C．D．A解析设M为AC的中点，则AO＝xAB＋yAC＝xAB＋2yAM.因为x＋2y＝1，所以O，B，M三点共线．又因为O是△ABC的外接圆圆心，所以BM⊥AC，从而cos∠BAC＝.故选A．5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则()A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝A解析由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA＝BA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.6．(2019·忻州二中期中)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则的值为()A．3B．C．2D．B解析(特值法)利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，得x＝y＝，则＝.二、填空题7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.解析因为a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，所以a－c＝(3－k，－6)．因为(a－c)∥b，所以1×(－6)＝3×(3－k)，解得k＝5.答案58．已知向量a＝(λ＋1,1)，b＝(λ＋2,2)，若(a＋b)∥(a－b)，则λ＝________.解析因为a＋b＝(2λ＋3,3)，a－b＝(－1，－1)，且(a＋b)∥(a－b)，所以＝，所以λ＝0.答案09．已知向量OA＝(3,4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是________．解析因为AB＝OB－OA＝(3，－7)，AC＝OC－OA＝(2－m，－7－m)，点A，B，C能构成三角形，所以点A，B，C不共线，即AB与AC不共线，所以3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，解得m≠－，故实数m应满足m≠－.答案m≠－三、解答题10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？解析(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)．故|a＋3b|＝＝.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)．因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.此时ka－b＝(k－2，－1)＝，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．11．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．解析由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为a＝mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为CM＝OM－OC＝3c，所以OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，所以M(0,20)．又因为CN＝ON－OC＝－2b，所以ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，所以N(9,2)．所以MN＝(9，－18)．12．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．解析(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，所以解得或所以d的坐标为(3，－1)或(5,3)．13．[选做题]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为()A．3B．2C．D．2A解析建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD．因为CD＝1，BC＝2，所以BD＝＝，EC＝＝＝，所以P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.设P(x0，y0)，则(θ为参数)，而AP＝(x0，y0)，AB＝(0,1)，AD＝(2,0)．因为AP＝λAB＋μAD＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，所以μ＝x0＝1＋cosθ，λ＝y0＝1＋sinθ.两式相加，得λ＋μ＝1＋sinθ＋1＋cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A．
