课时作业10椭圆及其标准方程(1)知识点一椭圆的定义及简单应用1.已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3；③当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6；④当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是()A．①②B．①③C．②③D．②④答案B解析当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，①正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，②错误，③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，④错误．2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为()A．2B．3C．5D．7答案D解析由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.若|PF1|＝3，则|PF2|＝7.3．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为()A．16B．18C．20D．不确定答案B解析 a＝5，b＝3，∴c＝4又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B.知识点二求椭圆的标准方程4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)a＝5，c＝2；(2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点；(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．解(1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由已知，得⇒即所求椭圆的标准方程是＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由已知，得⇒与a>b>0矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1.解法二：由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，故⇒即所求椭圆的标准方程是＋＝1.(3)解法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1，则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 点M在椭圆上，1∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝＋＝(2－)＋(2＋)＝4，∴a＝2，即a2＝12，∴b2＝a2－c2＝12－4＝8，∴椭圆的标准方程为＋＝1.解法二：由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，设所求椭圆方程为＋＝1(λ>0)，将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所求椭圆的标准方程为＋＝1.一、选择题1．椭圆3x2＋y2＝1的焦点坐标为()A．(，0)和(－，0)B．(0，)和(0，－)C.和D.和答案D解析3x2＋y2＝1可化为＋y2＝1，所以该椭圆的焦点在y轴上，且a2＝1，b2＝，所以c2＝a2－b2＝，c＝，焦点坐标为和.2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．3．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，则圆心P的轨迹是()A．线段B．直线C．圆D．椭圆答案D解析设圆P的半径为r，因为圆P过点B，则|PB|＝r.又圆P过点B且与圆A内切，B在圆A内，所以圆P在圆A内．又圆A的半径为10，所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，故|PA|＋|PB|＝10>|AB|＝6，所以圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．故选D.4．关于椭圆＋＝1与＋＝1(09－k，且25－k－(9－k)＝16.由此可知，椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且c＝4.所以椭圆＋＝1与＋＝1(01)，又椭圆C由过F2且垂直于x轴的直线截得的弦长|AB|＝3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝(舍去)．故椭圆C的方程为＋＝1.二、填...
