【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第六章第37课复数要点导学要点导学各个击破复数的概念及四则运算法则实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[思维引导]复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.[解答]z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.由m∈R,可知z的实部为m2+5m+6,虚部为m2-2m-15.(1)要使z为实数,必有2-2-150,,mmmR所以m=5或m=-3.(2)要使z为虚数,必有m2-2m-15≠0,所以m≠5且m≠-3.(3)要使z为纯虚数,必有22560,-2-150,mmmm即-3-2,-35,mmmm或且所以m=-2.[精要点评]按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a,b∈R)的形式,明确复数的实部与虚部,由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的是解决问题的关键.(2014·苏北四市期末)设复数z1=2-i,z2=m+i(m∈R,i为虚数单位),若z1·z2为实数,则m的值为.[答案]2[解析]因为z1·z2=(2-i)(m+i)=2m+1+(2-m)i且z1·z2为实数,所以2-m=0,m=2.(2014·泰州期末)若复数(1+i)2=a+bi(a,b是实数,i是虚数单位),则a+b的值为.[答案]2[解析](1+i)2=2i=a+bi,根据复数相等的定义,则有a=0,b=2,所以a+b=2.1已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1·z2是实数,求z2.[思维引导]两个复数的和是一个实数,则和的虚部为0,从而可以待定系数,进一步求解复数z2.[解答]由(z1-2)(1+i)=1-i,解得z1=2-i.设z2=a+2i,a∈R,则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.因为z1z2∈R,所以a=4,所以z2=4+2i.[精要点评]正确使用复数的四则运算求解z1是解决本题的关键.(2014·苏州期末)设i为虚数单位,则(1+2i)·(1-i)2=.[答案]4-2i[解析](1+2i)(1-i)2=-2i(1+2i)=4-2i.(2014·南京学情调研)已知复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),那么|z|=.[答案]2[解析]方法一:因为iz=1+i,所以z=1ii=1-i,故|z|=221(-1)=2.方法二:因为iz=1+i,所以|iz|=|1+i|,即|z|=2.复数的几何意义设z∈C,若z2为纯虚数,求z在复平面上对应的轨迹方程.[思维引导]因为z2为纯虚数,所以z2的实部为0,且虚部不为0.[解答]设z=x+yi(x,y∈R),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.因为z2为纯虚数,所以22-0,0,xyxy所以所求轨迹方程为y=±x(x≠0).[精要点评]要求z在复平面上对应点的轨迹方程,即求z的实部和虚部满足的关系式.求满足等式|z-i|+|z+i|=3的复数z对应的点的轨迹.[解答]因为|z-i|+|z+i|=3,故由复数模的几何意义得z的对应点到定点(0,1)与(0,-1)的距离之和为3,满足椭圆的定义,所以复数z的对应点的轨迹为椭圆.2已知复数z1=sin2x+ti,z2=m+-32mcosxi(i为虚数单位,t,m,x∈R),且z1=z2.(1)若t=0,且0
