第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数零点个数7,9根据函数零点求参数1,2,3,4函数零点的综合应用5,6,8基础巩固(建议用时:25分钟)1
已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是(D)(A)(-∞,-2)(B)(-2,2)(C)(2,+∞)(D)(-2,0)∪(0,2)解析:很明显a≠0,由题意可得f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2)
则由f'(x)=0可得x1=0,x2=,由题意得不等式f(x1)f(x2)=-+11,a23,令f'(x)=0得x=ek-3,在x∈(0,ek-3),f'(x)0,g(x)在R递增,不合题意,舍去,(ii)a>0时,令g'(x)=0,解得x=ln,当x0对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,所以r(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增
又r(1)=e-30,r(-3)=-0,所以直线y=x+2与曲线y=f(x)的交点仅有两个,且两交点的横坐标分别在区间[1,2]和[-3,-2]内,所以整数m的所有值为-3,1
(2018·北京市丰台区二模)已知函数f(x)=xcosx-ax+a,x∈[0,](a≠0)
(1)当a≥1时,求f(x)的单调区间;(2)求证:f(x)有且仅有一个零点
(1)解:根据题意,f(x)=xcosx-ax+a,则f'(x)=cosx-xsinx-a
令g(x)=cosx-xsinx-a,x∈[0,],则g'(x)=-2sinx-xcosx≤0
所以g(x)在区间[0,]上单调递减
因为g(0)=1-a≤0,所以g(x)≤0,即f'(x)≤0,所以f(x)的单调递减区间是[0,],没有单调递增区间
(2)证明:由(1)知,g(x)在区间[0,]上单调递减,且g(0)=1-a,g()=--a
当a≥1时,f(x)在[0,
