高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质应用案巩固提升 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质[A基础达标]1．直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()解析：选C．因为|x|·y＝1，所以y>0，故选C．2．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B．“点M在曲线y＝|x|上”⇒“点M到两坐标轴距离相等”，反之不成立．故选B．3．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．一个圆D．两条线段解析：选A．方程可化为(x＋1)2＋2(y－)2＝0，所以即，它表示点(－1，)．故选A．4．已知分别过点A(－1，0)和点B(1，0)的两条直线相交于点P，若两直线的斜率之积为－1，则动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝解析：选B．设P(x，y)，则由题意得·＝－1，化简得x2＋y2＝1(x≠±1)．5．已知点P是直线x－2y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是()A．x＋2y＋3＝0B．x－2y－5＝0C．x－2y－7＝0D．x－2y＋7＝0解析：选D．设P(x0，y0)，则x0－2y0＋3＝0(*)．又设Q(x，y)，由|PM|＝|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则，即(**)．将(**)代入(*)，得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0，即x－2y＋7＝0.故选D．6．如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称且OP·MN＝4，则动点P的轨迹方程为________．1解析：由已知M(0，y)，N(x，－y)，则OP·MN＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2＝4，即－＝1.答案：－＝17．平面上有三点A(－2，y)、B(0，)、C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________．解析：AB＝，BC＝，由AB⊥BC得AB·BC＝0，即2x＋·＝0，即y2＝8x.答案：y2＝8x8．若等腰三角形底边的两个顶点是B(2，1)，C(0，－3)，则另一顶点A的轨迹方程是________．解析：由题意，知另一顶点A在边BC的垂直平分线上．又BC的中点为(1，－1)，边BC所在直线的斜率kBC＝＝2，所以边BC的垂直平分线的斜率为－，垂直平分线的方程为y＋1＝－(x－1)，即x＋2y＋1＝0.又顶点A不在边BC上，所以x≠1.故另一顶点A的轨迹方程是x＋2y＋1＝0(x≠1)．答案：x＋2y＋1＝0(x≠1)9．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．解：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x＝8的距离为|x－8|，到点A的距离为.由已知，得|x－8|＝2，化简得3x2＋4y2＝48，即＋＝1.所以动点的轨迹方程为＋＝1.10．在边长为2a的正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求P点的轨迹方程．解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，设点P(x，y)，则B(－a，0)，C(a，0)，A(0，a)，用点的坐标表示等式|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，有x2＋(y－a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋(y＋a)2＝(2a)2，即所求的轨迹方程为x2＋(y＋a)2＝4a2(y>0)．[B能力提升]11．a、b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，则点(b，a)也在曲线f(x，y)＝0上，那么曲线f(x，y)＝0的几何特征是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：选D．由于点(a，b)和(b，a)关于直线y＝x对称，所以f(x，y)＝0表示的曲线关于直线y＝x对称，故选D．12．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y2轴的交点为N，若向量OQ＝OM＋ON，则动点Q的轨迹为__________．解析：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．因为OQ＝OM＋ON，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝.又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4(y≠0)．所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．答案：＋＝1(y≠0)13．已知三角形ABC中，AB＝2，AC＝BC.(1)求点C的轨迹方程；(2)求三角形ABC的面积的最大值．解：(1)以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由AC＝BC，得(x－3)2＋y2＝8即为点C的轨迹方程．(2)由于AB＝2，所以S△ABC＝×2×|y|＝|y|，因为(x－3...