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高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质应用案巩固提升 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP免费

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2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质[A基础达标]1.直角坐标系中,方程|x|·y=1的曲线是()解析:选C.因为|x|·y=1,所以y>0,故选C.2.“点M在曲线y=|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.“点M在曲线y=|x|上”⇒“点M到两坐标轴距离相等”,反之不成立.故选B.3.方程x2+2y2+2x-2y+=0表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.一个圆D.两条线段解析:选A.方程可化为(x+1)2+2(y-)2=0,所以即,它表示点(-1,).故选A.4.已知分别过点A(-1,0)和点B(1,0)的两条直线相交于点P,若两直线的斜率之积为-1,则动点P的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.x2+y2=1(x≠±1)C.x2+y2=1(x≠0)D.y=解析:选B.设P(x,y),则由题意得·=-1,化简得x2+y2=1(x≠±1).5.已知点P是直线x-2y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则点Q的轨迹方程是()A.x+2y+3=0B.x-2y-5=0C.x-2y-7=0D.x-2y+7=0解析:选D.设P(x0,y0),则x0-2y0+3=0(*).又设Q(x,y),由|PM|=|MQ|,知点M是线段PQ的中点,则,即(**).将(**)代入(*),得(-2-x)-2(4-y)+3=0,即x-2y+7=0.故选D.6.如图,在平面直角坐标系中,已知动点P(x,y),PM⊥y轴,垂足为M,点N与点P关于x轴对称且OP·MN=4,则动点P的轨迹方程为________.1解析:由已知M(0,y),N(x,-y),则OP·MN=(x,y)·(x,-2y)=x2-2y2=4,即-=1.答案:-=17.平面上有三点A(-2,y)、B(0,)、C(x,y),若AB⊥BC,则动点C的轨迹方程为________.解析:AB=,BC=,由AB⊥BC得AB·BC=0,即2x+·=0,即y2=8x.答案:y2=8x8.若等腰三角形底边的两个顶点是B(2,1),C(0,-3),则另一顶点A的轨迹方程是________.解析:由题意,知另一顶点A在边BC的垂直平分线上.又BC的中点为(1,-1),边BC所在直线的斜率kBC==2,所以边BC的垂直平分线的斜率为-,垂直平分线的方程为y+1=-(x-1),即x+2y+1=0.又顶点A不在边BC上,所以x≠1.故另一顶点A的轨迹方程是x+2y+1=0(x≠1).答案:x+2y+1=0(x≠1)9.一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.解:设动点坐标为(x,y),则动点到直线x=8的距离为|x-8|,到点A的距离为.由已知,得|x-8|=2,化简得3x2+4y2=48,即+=1.所以动点的轨迹方程为+=1.10.在边长为2a的正三角形ABC内有一动点P,已知P到三顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC|,且满足|PA|2=|PB|2+|PC|2,求P点的轨迹方程.解:以BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),设点P(x,y),则B(-a,0),C(a,0),A(0,a),用点的坐标表示等式|PA|2=|PB|2+|PC|2,有x2+(y-a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+(y+a)2=(2a)2,即所求的轨迹方程为x2+(y+a)2=4a2(y>0).[B能力提升]11.a、b为任意实数,若点(a,b)在曲线f(x,y)=0上,则点(b,a)也在曲线f(x,y)=0上,那么曲线f(x,y)=0的几何特征是()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称解析:选D.由于点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称,所以f(x,y)=0表示的曲线关于直线y=x对称,故选D.12.已知圆C的方程为x2+y2=4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y2轴的交点为N,若向量OQ=OM+ON,则动点Q的轨迹为__________.解析:设点Q的坐标为(x,y),点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),则点N的坐标为(0,y0).因为OQ=OM+ON,即(x,y)=(x0,y0)+(0,y0)=(x0,2y0),则x0=x,y0=.又点M在圆C上,所以x+y=4,即x2+=4(y≠0).所以动点Q的轨迹方程是+=1(y≠0).答案:+=1(y≠0)13.已知三角形ABC中,AB=2,AC=BC.(1)求点C的轨迹方程;(2)求三角形ABC的面积的最大值.解:(1)以AB为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),由AC=BC,得(x-3)2+y2=8即为点C的轨迹方程.(2)由于AB=2,所以S△ABC=×2×|y|=|y|,因为(x-3...

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