课时作业(十四)抛物线的简单几何性质A组基础巩固1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A．B．1C．2D．4解析：圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心(3,0)到抛物线准线x＝－的距离为4，∴＝1，∴p＝2，故选C.答案：C2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°，△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.答案：B3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相切知4＜r.因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，所以x＝8y0，又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上，∴x＋(y0－2)2＝r2＞16，所以8y0＋(y0－2)2＞16，即有y＋4y0－12＞0，解得y0＞2或y0＜－6，又因为y0≥0，所以y0＞2，故选C.答案：C4．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A．(6，＋∞)B．[6，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析： 抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．答案：D5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B．1C.D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.答案：C6．设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3,0)，则|PA|的最小值为________．解析：设P的坐标为(x，y)，则y2＝4x，x≥0，|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.当x＝1时，|PA|最小为2.答案：27．已知点(2，y)在抛物线y2＝4x上，则P点到抛物线焦点F的距离为________．解析： 点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，∴点P到焦点F的距离等于P点到准线x＝－1的距离， 点P到准线距离为3，∴P点到焦点的距离也为3.答案：318．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．解析：设点Q的坐标为.由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，即y＋2≥a2，整理，得y(y＋16－8a)≥0. y≥0，∴y＋16－8a≥0.即a≤2＋恒成立．而2＋的最小值为2.∴a≤2.答案：(－∞，2]9．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，求点A的坐标．解析：由y2＝4x，知F(1,0)． 点A在y2＝4x上，∴不妨设A，则OA＝，AF＝.代入OA·AF＝－4中，得＋y(－y)＝－4，化简得y4＋12y2－64＝0.∴y2＝4或－16(舍去)，y＝±2.∴点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．B组能力提升10．如图，已知点Q(2，0)及抛物线y＝上的动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是()A．2B．3C．4D．2解析：如图所示，过P作PM垂直准线于点M，则由抛物线的定义可知y＋|PQ|＝|PM|－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1，当且仅当P、F、Q三点共线时，|PF|＋|PQ|最小，最小值为|QF|＝＝3.故y＋|PQ|的最小值为3－1＝2.答案：A11．已知顶点与原点O重合，准线为直线x＝－的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若y1·y2＝－1，则∠AOB的大小是________．解析：由已知得抛物线方程为y2＝x，因此OA·OB＝x1x2＋y1y2＝yy＋y1y2＝(－1)2＋(－1)＝0.∴OA⊥OB.∴∠AOB＝90°.答案：90°12．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．解析：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点坐标为，准线方程为x＝－，∴M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即＝＝3.解得：p＝2，y0＝±2，∴抛物线方程为y2＝4x.∴点M(2，±2)，根据两点距离公式有：|OM|＝＝2.13．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线的准线距离为d1，到直线l：x＋2y－16＝0的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解析：如图，由抛物线定义知，2P到其准线的距离d1等于P到焦...
