高二数学曲线与方程知识精讲人教实验版B一.本周教学内容：2.1曲线与方程教学目的：1.结合已经学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法。2.能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。二.重点、难点：重点：了解曲线的方程、方程的曲线的概念；使学生初步掌握求曲线方程的方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想。难点：了解曲线与方程的对应关系；求曲线方程的方法。知识分析1.曲线与方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F（x，y）＝0，之间具有如下关系：（1）曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）＝0的解；（2）以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上。那么，曲线C叫做方程F（x，y）＝0的曲线，方程F（x，y）＝0叫做曲线C的方程。说明：①在这个定义中，曲线上的点与方程的解之间的关系（1）和（2）缺一不可，而且两者是对曲线上任意一点以及方程的任意一个实数解而言的。从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F（x，y）＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系（1）可得，由关系（2）可得；同时具有关系（1）和（2），才会有A＝B。②上面定义告诉我们，如果曲线C的方程是F（x，y）＝0，则M（x，y）∈CF（x，y）＝0，因此，方程F（x，y）＝0可以作为描述曲线C的特征性质。曲线C用集合的特征性质描述法，可以描述为③坐标系选定后，曲线被它的方程所唯一确定。但曲线的方程不是唯一的，除与我们选取的坐标法有关外，在同一坐标系下，还会有同解方程。如方程|x|＝|y|表示的曲线也可以表示为x2＝y2。④这个定义给我们提供了判断点是否在曲线上的方法：即看这个点的坐标是否适合曲线的方程。2.求两个曲线交点的坐标的方法已知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）＝0和G（x，y）＝0，则它们的交点坐标由方程组的实数解来确定。这样，判断两曲线交点的个数，就可以通过判断方程组的解的个数来解决。3.已知两圆，对方程来说，当λ＝－1时，表示一条直线，这条直线过两个圆的交点；当λ≠－1时，表示一个圆，该圆过这两个圆的交点。用心爱心专心4.求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系，设动点M的坐标为（x，y）；（2）根据动点M满足的性质，写出所求点集；（3）把几何条件转化为坐标表示，并化简；（4）证明或说明。说明：根据已知条件求出平面曲线的方程，学习中应注意下面一些问题：①在求方程之前，必须首先建立坐标系，否则，曲线不能转化为方程。在具体问题中有两种情况：一是所研究的问题已给定了坐标系，此时在给定的坐标系中求方程即可；二是原题中没有确定坐标系，此时必须首先选取适当的坐标系，坐标系选取得适当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单。②先设出所求点的坐标（x，y），根据曲线上的点所要适合的几何条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常要用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等。要仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系列出等式。③求得方程以后，按照严格的求曲线方程的步骤，应当证明以所得方程的解为坐标的点都在曲线上。但在多数情况下，化简前后方程的解集相同，因而所得的方程就是曲线的方程，教材中的步骤（4）可以省略。但是如果化简前后方程的解集不同，则应删去增加的解，或补上失去的解。5.根据曲线的方程研究曲线的几何性质，主要包括以下几个方面：（1）研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪些基本的曲线组成的。如所举例题中的曲线是由两个方程所表示的曲线组成的。在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围。（2）研究曲线与坐标轴是否相交。如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点。（3）研究曲线的对称性。在讨论曲线的对称性之前，应先复习对称的概念和关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标之间的关系，然后说明“以－x代x，或以－y代y，或同时以－x代x、以－y代y，方程不变，则图形关于y轴、x轴、原点对称”的道理，这与在数学1第二章中证明函数的奇偶性类似，...
