3月20日平面直角坐标系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆已知平行四边形ABCD，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．【参考答案】见试题解析．【试题解析】如图所示，以点A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xAy，则A(0，0)．设B(a，0)，C(b，c)．由对称性知D(b－a，c)，所以AB2＝a2，AD2＝(b－a)2＋c2，AC2＝b2＋c2，BD2＝(b－2a)2＋c2． AC2＋BD2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，而AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2ab，所以AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．【解题必备】（1）平面直角坐标系：在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，其中，横轴表示为x轴，纵轴表示为y轴，两轴的交点叫做坐标原点，习惯上用O表示．（2）在平面直角坐标系中，点P与有序实数对(x，y)能够建立一一对应关系，就是说，如果给定一点P，那么就有唯一的有序实数对(x，y)与该点对应，反过来，如果给定有序实数对(x，y)那么就有唯一的点P与之对应．（3）①两点间的距离公式：在直角坐标平面内，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为|P1P2|＝221212()()xxyy；②中点坐标公式：在直角坐标平面内，若两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)所确定线段的中点为M(x，y)，则一定有122xxx，122yyy．（4）本题实际上为平行四边形的一个重要结论：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．一般可有两种方法解决：①运用代数方法即解析法实现几何结论的证明，这种“以算代证”的解题策略是坐标方法的表现形式之一；②也可运用向量的数量积运算，这种运算更加言简意赅，给人以简捷明快之感．（5）应用坐标法解决实际问题的步骤如下：11．点P(4，5)关于y轴的对称点为A．(4，5)B．(－4，5)C．(4，－5)D．(－5，－4)2．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区内的时间为_____________h．3．已知矩形ABCD，对于矩形所在的平面内任意一点M，试用坐标法证明：AM2＋CM2＝BM2＋DM2．1．B【解析】点(x，y)关于y轴的对称点的坐标为(－x，y)，所以点(4，5)关于y轴的对称点的坐标为(－4，5)．故选B．2．1【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离402022d．故22||23020MNd，故城市B处于危险区内的时间为20120h．3．【解析】以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(0，0)．2设B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)，则AM2＋CM2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，BM2＋DM2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，所以AM2＋CM2＝BM2＋DM2．33月21日平面直角坐标系中的伸缩变换（1）高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆将正弦曲线y＝sinx的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，所得曲线的方程为A．y＝sin3xB．y＝3sinxC．y＝sinxD．y＝sinx【参考答案】A【试题解析】伸缩变换为13x'xy'y，变形得3xx'yy'，代入y＝sinx，得y′＝sin3x′，即所求曲线方程为y＝sin3x．故选A．【解题必备】（1）设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：(0)(0)x'xy'y的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．（2）三角函数的伸缩变换（由函数sinyx的图象变换得到sin()yAx的图象）：方法1：sinyx的图象(0)(0)||向左或向右平移个单位长度sin()yx的图象1横坐标变为原来的倍纵坐标不变sin()yx的图象A纵坐标变为原来的倍横坐标不变sin()yAx的图象．方法2：sinyx的图象1横坐标变为原来的倍纵坐标不变sinyx的图象(0)(0)||向左或向右平移个单位长度sin()yx的图象A纵坐标变为原来的倍横坐标不变si...
