第3讲平面向量的数量积及应用举例[基础达标]1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB＝(1，1)，n＝(1，－1)，且n·AC＝2，则n·BC等于()A．－2B．2C．0D．2或－2解析：选B.n·BC＝n·(BA＋AC)＝n·BA＋n·AC＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2019·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD的边长为1，则|AB－BC＋AC|等于()A．0B．C．2D．2解析：选C.正方形ABCD的边长为1，则|AB－BC＋AC|2＝|DB＋AC|2＝|DB|2＋|AC|2＋2DB·AC＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB－BC＋AC|＝2，故选C.3．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，且a·c>0，b·c>0.()A．若a·b<0则x>0，y>0B．若a·b<0则x<0，y<0C．若a·b>0则x<0，y<0D．若a·b>0则x>0，y>0解析：选A.由a·c>0，b·c>0，若a·b<0，可举a＝(1，1)，b＝(－2，1)，c＝(0，1)，则a·c＝1>0，b·c＝1>0，a·b＝－1<0，由c＝xa＋yb，即有0＝x－2y，1＝x＋y，解得x＝，y＝，则可排除B；若a·b>0，可举a＝(1，0)，b＝(2，1)，c＝(1，1)，则a·c＝1>0，b·c＝3>0，a·b＝2>0，由c＝xa＋yb，即有1＝x＋2y，1＝y，解得x＝－1，y＝1，则可排除C，D.故选A.4．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，所以2AC·BA＝0，所以AC⊥AB.所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到|AB|＝|AC|.故选C.5．已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则DE·FC的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：选B.以A为坐标原点，AB、AD方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，设E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE＝(λ，λ－2)，FC＝(1，2)，所以DE·FC＝3λ－4≤2.1所以DE·FC的最大值为2.故选B.6．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，则b与a－b的夹角的取值范围是()A．B．C．D．解析：选B.因为|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，不妨设|a＋b|＝1，则|a|＝|b|＝λ.令OA＝a，OB＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB＝∠OBA＝θ，且0<θ<.而由题意可得，b与a－b的夹角，即OB与BA的夹角，等于π－θ，△OAC中，由余弦定理可得|OC|2＝1＝|OA|2＋|AC|2－2|OA|·|AC|·cos2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos2θ，解得cos2θ＝1－.再由≤λ≤1，可得≤≤，所以－≤cos2θ≤，所以≤2θ≤，所以≤θ≤，故≤π－θ≤，即b与a－b的夹角π－θ的取值范围是.7．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么|a－2b|＝________．解析：因为平面向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，所以a·b＝4·4·cos120°＝－8，所以|a－2b|＝＝＝＝＝4.答案：48．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．解析：设e1，e2的夹角为θ，因为a在b上的投影为2，所以＝＝2e1·e2＋|e2|2＝2|e1|·|e2|cosθ＋1＝2，解得cosθ＝，则θ＝.a·b＝(2e1＋e2)·e2＝2e1·e2＋|e2|2＝2|e1|·|e2|cosθ＋1＝2.答案：29.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为边CD上一个动点，CQ＝λQD，点P为线段BQ(含端点)上一个动点．若λ＝1，则PA·PD的取值范围为________．解析：当λ＝1时，Q为CD的中点．设AB＝m，AD＝n，BP＝μBQ(0≤μ≤1)．易知BQ＝－m＋n，AP＝AB＋BP＝m＋μ＝m＋μn，DP＝AP－AD＝m＋μn－n＝m＋(μ－1)n，所以PA·PD＝AP·DP＝·＝4＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.根据二次函数性质可知，当μ＝时上式取得最小值；当μ＝0时上式取得最大值4.所以2PA·PD的取值范围为.答案：10．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足AC＝(1，)，BD＝(－，1)，则凸四边形ABCD的面积为________；AB·CD的取值范围是________．解析：由AC＝(1，)，BD＝(－，1)得AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2，所以凸四...
