高中数学 第6章 推理与证明 6.3 数学归纳法应用案巩固提升 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

6.3数学归纳法[A基础达标]1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：选C.当n取1、2、3、4时2n＞n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n＞n2＋1的n值为5，故选C.2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k的取值无关D．以上答案都不对解析：选B.因为n＝2时成立，若n＝k取2时，n＝k＋2为偶数也成立，即该命题对所有正偶数都成立．3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N*)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N*)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N*)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)解析：选B.n∈N*且为奇数，由假设n＝2k－1(k∈N*)时成立推证出n＝2k＋1(k∈N*)时成立，就完成了归纳递推．4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：选D.当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.5．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面的个数为()A．f(k)＋k－1B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D．f(k)＋k－2解析：选A.由k棱柱到k＋1棱柱，底面对角线增加k－2＋1＝k－1条，所以增加了(k－1)个对角面．6．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)第一步要证明的不等式是____________，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了____________项．1解析：当n＝2时，1＋＋<2.当n＝k时到第2k－1项，而当n＝k＋1时到第2k＋1－1项，所以2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k.答案：1＋＋<22k7．数列{an}中，a1＝1且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列，若Sn表示数列{an}的前n项和，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想Sn＝________．解析：由Sn，Sn＋1，2S1成等差数列得Sn＋1＝＝＋1，故S2＝＋1＝＋1＝，S3＝＋1＝，S4＝＋1＝，由此可猜想Sn＝.答案：，，8．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则该式的右边共有________项；f(2)＝________．解析：由题意得f(n)＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，故该式的右边共有n2－n＋1项；其中f(2)＝＋＋＝.答案：n2－n＋19．证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．证明：①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立．②假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立．即1－＋…＋－＝＋＋…＋.则当n＝k＋1时，左边＝1－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋，所以当n＝k＋1时等式也成立，由①②知，对一切n∈N*等式都成立．10．已知数列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3，a4并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20.猜想：an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)(2)证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5成立．②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时猜想成立，即ak＝5×2k－2，则n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1.故当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②可知，对n≥2且n∈N*，都有an＝5×2n－2.于是数列{an}的通项公式为an＝[B能力提升]11．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，那么a，b的值为()2A．a＝，b＝B．a＝b＝C．a＝0，b＝D．a＝，b＝解析：选A.法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1，2验证，易知选A.法二：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，所以当n＝1，2时有即解得12．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________________．解...