3.2.2复数的乘法[A基础达标]1．(1＋i)20－(1－i)20的值是()A．－1024B．1024C．0D．1025解析：选C.(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.2．设a，b，c，d∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是()A．ad－bc＝0B．ac－bd＝0C．ac＋bd＝0D．ad＋bc＝0解析：选D.因为a，b，c，d∈R，复数(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i为实数，所以ad＋bc＝0.故选D.3．2＋2i的平方根是()A.＋iB.±iC．±＋iD．±(＋i)解析：选D.设其平方根为x＋yi(x，y∈R)，则x2－y2＋2xyi＝2＋2i，所以解得或所以其平方根为＋i或－－i.4．若ω＝－＋i，则ω4＋ω2＋1等于()A．1B．0C．3＋iD．－1＋i解析：选B.ω4＋ω2＋1＝ω＋ω2＋1＝0.5．若z＋z＝6，z·z＝10，则z＝()A．1±3iB．3±iC．3＋iD．3－i解析：选B.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，所以解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.6．(1＋i)6＋(1－i)6＝____________．解析：(1＋i)6＋(1－i)6＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3＝(2i)3＋(－2i)3＝0.答案：07．复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝__________．解析：设z＝ai(a∈R且a≠0)，则(z＋2)2－8i＝z2＋4z＋4－8i＝(－a2＋4)＋(4a－8)i，所以解得a＝－2，所以z＝－2i.答案：－2i8．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．解析：(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，则所以即＝2.1答案：29．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，求实数t.解：z1·z2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因为z1·z2是实数，所以4t－3＝0，所以t＝.10．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q及方程的另一根．解：因为(－3＋2i)是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，所以2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0，所以所以所以原方程为2x2＋12x＋26＝0，即x2＋6x＋13＝0，所以Δ＝36－4×13＝－16，所以方程根为x＝＝－3±2i，所以方程的另一根为－3－2i.[B能力提升]11．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为()A.B.C.D.解析：选C.因为(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，它为实数的等价条件是m2＝n2，又m，n均为正整数，所以m＝n.故问题事件所含基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)六个，基本事件空间中含有36个基本事件，所以复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为＝.12．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是__________．解析：令z＝a＋bi(a，b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i得i[(a＋1)＋bi]＝－3＋2i，即－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，所以b＝3，a＝1，故z的实部是1.答案：113．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若ω＝z＋ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．解：(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a)i，复数ω对应向量为(－2，4＋a)，其模为＝.又复数z所对应向量为(－2，4)，其模为2.由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.14．(选做题)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件，得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，2所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)．所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.故△ABC的面积为1.3
