考点规范练37空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直答案A解析如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.2.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D解析如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1∥l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1⊥l4,故B错误,则C也错误,故选D.3.(2018浙江高三模拟)给定下列两个关于异面直线的命题:命题(1):若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β的交线,则c至多与a,b中的一条相交;命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线.那么()A.命题(1)正确,命题(2)不正确B.命题(2)正确,命题(1)不正确C.两个命题都正确D.两个命题都不正确答案D解析如图所示,当c可以与a,b都相交,但交点不是同一个点时,平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,因此(1)是假命题;对于(2),可以取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不同向,则这些直线中任意两条是异面直线,从而(2)是假命题;故选D.14.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又因为a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交.反之,若α,β相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,则有a∥b.显然a,b可能相交,也可能异面或平行.综上,“直线a,b相交”是“平面α,β相交”的充分不必要条件.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.45B.35C.23D.57答案B解析连接DF,则AE∥DF,∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.设正方体棱长为a,则D1D=a,DF=√52a,D1F=√52a,∴cos∠D1FD=(√52a)2+(√52a)2-a22·√52a·√52a=35.6.正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱中,与棱AA1是异面直线且互相垂直的棱有条.答案4解析与AA1异面且垂直的有B1C1,BC,CD,C1D1.7.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和CD所成的角是.2答案60°解析连接A1D,AD1,则F恰好是它们的交点,同理E是A1C1,B1D1的交点.连接EF,AB1, 正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B∥D1D,且B1B=D1D,∴四边形BB1D1D是平行四边形,可得BD∥B1D1.因此,∠FED1(或其补角)就是EF和BD所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则△FED1中,D1E=D1F=EF=√22,∴△FED1是等边三角形,可得∠FED1=60°.由此可得EF和BD所成的角等于60°.8.如图,在四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,过EF任作一个平面α分别与直线BC,AD相交于点G,H,则下列结论正确的是.①对于任意的平面α,都有直线GF,EH,BD相交于同一点;②存在一个平面α0,使得GF∥EH∥BD;③存在一个平面α0,使得点G在线段BC上,点H在线段AD的延长线上;④对于任意的平面α,都有S△EFG=S△EFH.答案②④解析逐一判断.当点G,H分别是BC和AD的中点时,直线GF,EH,BD两两相互平行,所以①错误,②正确;点G在BC上时,GF与BD的延长线的交点I一定在BD延长线上,连接EI,与AD的交点H一定在线段AD上,所以③错误;3过点D作DP∥AB交EI于点P,因为IDIB=DPBE=DPAE(相似),所以线段GCBC=DHAD,S△GCFS△BCD=S△DFHS△ACD,所以四面体EFGC与ECFH的体积相等.所以△EFG与△EFH的面积相等,④正确.故正确结论的序号是②④.能力提升组9.给出下列四个命题:①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④答案D解析分别与两条异面直线都相交的两条直线,可能相交也可能异面,故①错误;根据...
