高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算课后演练提升 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成角等于()A．45°B．30°C．90°D．60°解析：作出图形，建立如右图所示的空间直角坐标系Oxyz，则：A(0,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0,1,0)，∴AC＝(1,1,0)，BF＝(0，－1,1)，∴|AC|＝，|BF|＝，AC·BF＝－1，cos〈AC，BF〉＝＝－，∴〈AC，BF〉＝120°.又异面直线所成角的取值范围为(0,90°]．∴AC与BF所成角为60°.故选D.答案：D2．若平面α的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是()A．cosθ＝B．cosθ＝C．sinθ＝D．sinθ＝解析：u与v的夹角的余角才是直线l与平面α所成的角，因此选D.答案：D3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为()A.B.C.D.解析：以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，B(4,4,0)，C1(0,4,2)，∴AC＝(－4,4,0)，BC1＝(－4,0,2)，易知AC为平面DBB1D1的一个法向量，设BC1与平面DBB1D1的夹角为α，则sinα＝|cos〈AC，BC1〉|＝＝，选C.答案：C4．平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为()A．－B.C.D．以上都不对解析：cos〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β夹角的余弦值为.故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是________．解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则E，F，EF＝，DC＝(0,1,0)，所以cos〈EF，DC〉＝＝－，所以〈EF，DC〉＝135°，所以异面直线EF和CD所成的角是45°.答案：45°6．已知平面α过定点A(1,2,1)，且法向量为n＝(1，－1,1)．已知平面外一点P(－1，－5，－1)，求PA与平面α所成角的正弦值________．1解析：PA＝(2,7,2)，则cos〈PA，n〉＝＝＝－.设PA与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角．解析：方法一：因为BA1＝BA＋BB1，AC＝AB＋BC，所以BA1·AC＝(BA＋BB1)·(AB＋BC)＝BA·AB＋BA·BC＋BB1·AB＋BB1·BC.因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，所以BA·BC＝0，BB1·AB＝0，BB1·BC＝0，BA·AB＝－a2，所以BA1·AC＝－a2.又cos〈BA1，AC〉＝＝＝－，所以〈BA1，AC〉＝120°，所以异面直线BA1和AC的夹角为60°.方法二：分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)．∴BA1＝(0，－a，a)，AC＝(－a，a,0)．∴cos〈BA1，AC〉＝＝＝－.∴〈BA1，AC〉＝120°.∴异面直线BA1和AC的夹角为60°.8．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA夹角的正切值．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)、D、C(1,1,0)、S(0,0,1)，易知平面SAB的一个法向量是AD＝.设n＝(x，y，z)是平面SCD的法向量，则n⊥DC，n⊥DS，即n·DC＝0，n·DS＝0，又DC＝，DS＝，∴x＋y＝0，且－x＋z＝0.∴y＝－x，且z＝x.∴n＝.取x＝1，得n＝.∴cos〈AD，n〉＝＝＝.设两平面夹角为θ，即cosθ＝，∴tanθ＝.☆☆☆9.(10分)如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；(2)试确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB的夹角为.2解析：(1)证明：以C为原点．以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，D，V，于是，VD＝，CD＝，AB＝(－a，a,0)．从而AB·CD＝(－a，a,0)·＝－a2＋a2＋0＝0，即AB⊥CD.同理AB·VD＝(－a，a,0)·＝－a2＋a2＋0＝0，即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，∴AB⊥平面VCD.又AB⊂平面VAB.∴平面VAB⊥平面VCD.(2)设平面VAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由n·AB＝0，n·VD＝0，得，可取n＝，又BC＝(0，－a,0)，于是sin＝＝＝sinθ，即sinθ＝.∵0＜θ＜，∴θ＝.故当θ＝时，直线BC与平面VAB的夹角为.3