1.1.2瞬时速度与导数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为()A．3B．2C．1D．4【解析】由已知得：＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.【答案】B2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3B．3C．6D．－6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝lim(－3Δt－6)＝－6.【答案】D3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝＝4＋2Δx.【答案】C4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b【解析】∵f′(x0)＝lim＝lim＝lim(a＋bΔx)＝a，∴f′(x0)＝a.【答案】C5．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且lim＝1，则f′(x0)等于()A．1B．－1C．－D.【解析】∵lim＝lim[·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－.【答案】C二、填空题6．若f′(x0)＝1，则lim＝__________.【导学号：05410003】1【解析】lim＝－lim＝－f′(x0)＝－.【答案】－7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图111所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．图111【解析】∵1＝＝kMA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由图象可知：kMA2>1.【答案】3>2>18．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．【解析】物体的速度为v＝s′(t)，∴s′(t)＝lim＝lim＝lim＝2－6t.即v＝2－6t，所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.【答案】2三、解答题9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4s附近的平均速度．【解】＝＝＝＝(25＋3Δt)m/s，即该物体在4s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.10．求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．【解】因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，故＝＝(2x＋a)＋Δx，lim＝lim(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.[能力提升]1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是()A．1B．－1C．±1D．3【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝lim[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，2由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1.【答案】C2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么lim＝()A.B．1C．2D.【解析】因为f′(1)＝1，所以lim＝1，所以lim＝lim＝.【答案】A3．已知f′(x0)>0，若a＝lim，b＝lim，c＝lim，d＝lim，e＝lim，则a，b，c，d，e的大小关系为__________．【解析】a＝lim＝f′(x0)，b＝lim＝－lim＝－f′(x0)，c＝lim＝2lim＝2f′(x0)，d＝lim＝f′(x0)，e＝lim＝f′(x0)．即c>a＝d＝e>b.【答案】c>a＝d＝e>b4．某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.(1)求在第1s内的平均速度；(2)求在1s末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14m/s?【解】(1)物体在第1s内的平均变化率(即平均速度)为＝m/s.(2)＝＝＝6＋3Δx＋(Δx)2.当Δx→0时，→6，所以物体在1s末的瞬时速度为6m/s.(3)＝＝＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2，即经过2s该物体的运动速度达到14m/s.3
