课时跟踪检测（三）余弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为()A．4B．8C．4或8D．无解解析：选C由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选B (b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，∴A＝60°.3．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是()A．－B．－C．－D．－解析：选C由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cosA＝＝＝－.4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.B．8－4C．1D.解析：选A由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.5．在△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C＝()A．60°B．45°C．135°D．45°或135°解析：选D cosC＝，∴cos2C＝. a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，∴a4＋b4＋c4－2c2a2－2c2b2＝0，∴cos2C＝＝，∴cosC＝±，∴C＝45°或135°.6．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.解析：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得，3＝a2＋1－2a×1×cos，即a2＋a－2＝0.1解得a＝1或a＝－2(舍去)．∴a＝1.答案：17．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角的大小为________．解析： a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理得cosC＝＝＝，∴C＝.答案：8．在△ABC中，下列结论：①若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为120°；③若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形．其中正确的为________(填序号)．解析：①中，a2>b2＋c2可推出cosA＝<0，即A为钝角，所以△ABC为钝角三角形；②中，由a2＝b2＋c2＋bc知，cosA＝＝－，∴A为120°；③中a2＋b2>c2可推出C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形；所以①②正确，③错误．答案：①②9．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求边长a.解：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.又因为a＋c＝4，b＝，所以ac＝3，联立解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1.所以a等于1或3.10．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴x1＝，x2＝－2(舍去)．∴cosC＝.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×＝16.∴c＝4，即第三边长为4.层级二应试能力达标1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若sinA∶sinB∶sinC＝4∶3∶2，则cosA的值是()A．－B.C．－D.解析：选A sinA∶sinB∶sinC＝4∶3∶2，∴由正弦定理，得a∶b∶c＝4∶3∶2.设三边长分别为a＝4k，b＝3k，c＝2k，k>0.利用余弦定理，得cosA＝＝＝－.2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若sin(C－A)＝sinB，且b＝4，则c22－a2＝()A．10B．8C．7D．4解析：选B在△ABC中，sin(C－A)＝sinB＝sin(A＋C)，即2sinCcosA－2cosCsinA＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinCcosA＝3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理，得c·＝3a·，∴b2＋c2－a2＝3a2＋3b2－3c2，∴4c2－4a2＝2b2＝2×16＝32，∴c2－a2＝8.故选B.3．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则AB·BC的值为()A．79B．69C．5D．－5解析：选D由余弦定理得：cos∠ABC＝＝＝.因为向量AB与BC的夹角为180°－∠ABC，所以AB·BC＝|AB|·|BC|cos(180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.4．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c的长为________．解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝.答案：5．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设边长为7的边所对角为θ，根据大边对大角，可得cosθ＝＝，θ＝60°，∴180°－60°＝120°，∴最大角与最小角之和为120°.答案：120°6．设△ABC的内角A，B，C所对...
